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2023-2024学年江苏省常州外国语附属双语学校九年级（上）竞赛数学试卷

1．O、H分别是锐角△ABC的外心、垂心．证明分别存在D、E、F在边BC，CA，AB上，并且AD，BE

2．已知：O、I、H为△外心、内心、垂心，OI∥BC，证明：AI⊥IH．

3．如图，ABCD是圆内接四边形，AC与BD交于点P，连接EP并延长交DC于点F，点G，DE的延长线上，满足∠EAG＝∠FAD，求证：C，D，G，H四点共圆．

4．已知⊙O1和⊙O2外离，PM，PN分别是⊙O1和⊙O2的切线，M，N分别是切点，且PM＝PN．直线MN再次交⊙O1，⊙O2于点A，B．直线PA，PB再次交⊙O1，⊙O2于点C，D．证明：∠BCN＝∠ADM．

5．设△ABC是一个锐角三角形，AD是BC边上的高，以AD为直径的圆分别与AC，F．P是△AEF的垂心，O为△ABC的外心，P，O三点共线．

2023-2024学年江苏省常州外国语附属双语学校九年级（上）竞赛数学试卷

参考答案与试题解析

1．O、H分别是锐角△ABC的外心、垂心．证明分别存在D、E、F在边BC，CA，AB上，并且AD，BE

【解答】证明：如图，连接AH，并延长分别交BC，M和K1，H2和H2，连接OH1，OH2和OH3，分别交BC，AC和AB于点D，连接HD．

∵AN⊥BC，BM⊥AC，

∴∠BCA+∠H1AC＝∠BCA+∠H2BC＝90°，

∴∠H5AC＝∠H2BC，

∴＝，

∴∠H1BC＝∠H2BC．

在△HBN和△H3BN中，∠HBN＝∠H1BN，BN＝BN1NB，

∴△HBN≌△H3BN（ASA），

∴HN＝H1N

∴点H和H1关于BC对称，

∴HD＝H2D，

∴OD+DH＝OD+DH1＝OH1．

同理，可得：OE+EH＝OH4，OF+FH＝OH3．

∵OH1＝OH4＝OH3．

∴OD+DH＝OE+EH＝OF+FH．

为了证明AD，BE，连接BO，则∠OBD＝∠OCD．

根据圆周角定理，∠BOD＝2∠BAN＝180°﹣5∠ABC，

∵在△BOD中，根据正弦定理得：＝＝，

在△COD中，根据正弦定理得：＝＝．

∴＝，即：．

同理可得：，．

∴＝1．

根据塞瓦定理的逆定理可得：AD，BE．

2．已知：O、I、H为△外心、内心、垂心，OI∥BC，证明：AI⊥IH．

【解答】证明：如图，⊙O为△ABC的外接圆，连接DO并延长交⊙O于点E，IN⊥AB，N、M分别为垂足，连接BD，BI，LC．

由垂径定理可得：ED⊥BC，BK＝KC．

又∵IM⊥BC，OI∥BC，

∴四边形OKMI是矩形．

由内心的性质，IM＝IN，

∴OK＝IM＝IN．

由圆周角定理得：∠EBD＝∠BCL＝∠BAL＝90°．

点H为△ABC的垂心，则AH⊥BC．

∴OK∥IM∥AH∥LC，AL∥HC，

∴四边形AHCL为平行四边形，

∴AH＝LC．

∵OK为△BCL的中位线，

∴LC＝AH＝2OK＝2IM＝3IN．

在△BDI中，∠DBI＝∠IBM+∠DBC，∠BID＝∠IBN+∠BAI，

点I为△ABC的内心，则∠IBM＝∠IBN，

由圆周角定理可得：∠DAC＝∠DBC，

∴∠DBI＝∠BID，

∴BD＝ID．

在Rt△DBE和Rt△INA中，由圆周角定理可知：∠E＝∠IAN，

∴sinE＝sin∠IAN，即，

∴，

∴，

∴，

∵AH∥ED，

∴∠IDO＝∠HAI．

在△DOI和△AIH中，∠IDO＝∠HAI，，

∴△DOI∽△AIH，

∴∠AIH＝∠DOI＝90°，

∴AI⊥IH．

3．如图，ABCD是圆内接四边形，AC与BD交于点P，连接EP并延长交DC于点F，点G，DE的延长线上，满足∠EAG＝∠FAD，求证：C，D，G，H四点共圆．

【解答】证明：∵四边形ADCE为圆的内接四边形，

∴∠AEG＝∠ADF，

∵∠EAG＝∠FAD，

∴△AEG∽△ADF，

∴∠G＝∠AFD，

∵∠FAD+∠AFC＝180°，

∴∠G+AFC＝180°，

∴A，F，C，G四点共圆1．

∵四边形EDCB为圆的内接四边形，

∴∠HEB＝∠BCD，

∵∠EBH＝∠FBC，

∴△BEH∽△BFC，

∴∠H＝∠BFC，

∵∠BFD+∠BFC＝180°，

∴∠H+∠BFD＝180°，

∴B，F，D，H四点共圆2．

则F是圆O4，圆O2nbsp;的一个公共点，延长FP1于点K，如图，

∵ABCD是圆内接四边形，AC与BD交于点P，

∴PA?PC＝PB?PD，

∵PA?PC＝PF?PK，

∴PF?PK＝PB?PD，

∴点K也在⊙O8上，

∵在⊙O1中：EK?EF＝EG?EC，在⊙O2中：EK?EF＝EH?ED，

∴EH?ED＝EG?EC，

∴．

连接GH，

∵∠GEH＝∠CED，

∴△EGH∽△ECD，

∴∠