专题4.3 函数的应用（二）（解析版）.docxVIP

专题4.3函数的应用（二）

1．函数的零点与方程的根之间的联系

函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根?函数的图象与x轴有交点?函数有零点．

2．函数零点的判定

如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程的根.

3．函数零点的常用结论

（1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；

（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

（3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；

（4）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.

4．函数零点的判定方法

（1）定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数必须在区间[a，b]上是连续的，当时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．

（2）方程法：判断方程是否有实数解．

（3）图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.

5．判断函数零点个数的方法

（1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

6．函数零点的应用

（1）已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围

根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，

此时应分三步：

①判断函数的单调性；

②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；

③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．

（2）已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围

一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．

（3）借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系

要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．

若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：

①求出零点，直接比较大小；

②确定零点所在区间；

③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.

一、单选题

1．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢降低新鲜度．已知某种水果降低的新鲜度y与其采摘后时间x（天）满足的函数关系式为．若采摘2天后，这种水果降低的新鲜度为20%；采摘3天后，这种水果降低的新鲜度为40%．则采摘下来的这种水果降低的新鲜度为70%需要经过

A．4天 B．4.5天

C．5天 D．5.5天

【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021-2022学年高一上学期10月月考

【答案】B

【分析】根据题意得，从而得，令即可得解．

【解析】根据题意得，解得，所以

令，解得．故选B．

2．二次函数的零点是

A．， B．，1

C．， D．，

【试题来源】江苏省南通市海安高级中学2021-2022学年高一10月份段测（一）

【答案】A

【分析】函数的零点转化为方程的根，求解即可．

【解析】二次函数的零点就是的解，

解得，或，故选A．

3．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是

A． B．

C． D．

【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021~2022学年高一上学期期中练习

【答案】C

【分析】由第一次所取的区间是，取该区间的中点，可得第二次所取的区间，利用同样的方法得到第三次所取的区间．

【解析】因为第一次所取的区间是，

所以第二次所取的区间可能是，

则第三次所取的区间可能是，故选C

4．若函数在区间[a，b]上满足，则在区间（a，b）上

A．有且仅有一个零点 B．至少有一个零点

C．至多有一个零点 D．可能没有零点

【试题来源】沪教版（2020）必修第一册达标检测第五章5．3函数的应用

【答案】D

【分析】结合分段函数、零点的知识确定正确选项．

【解析】例如，，在区间上满足，但是f（x）在区间上有无数个零点；

又如，，在区间上满足，但是f（x）在区间上没有零点．故选D

5．已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【试题来源】广东省深圳市龙岗区2021-2022学年高一上学期期中

【答案】D

【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围．

【解析】设，则二次函数的两个零点都在区间内，

由题意，解得．

因此，实数的取值范围是．故选D．