北师大版高中数学必修第二册强化练习题 专题强化练10 空间角的有关计算.docxVIP

北师大版高中数学必修第二册

专题强化练10空间角的有关计算

1.(2023浙江杭州源清中学期末)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=3,AB=2,则异面直线A1B与B1C夹角的余弦值为()

A.7

2.(2023甘肃武威联考)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E是B1C1的中点,AB=2,AA1=7,则BE与平面BB1D1D夹角的正弦值为()

A.1

3.(2023河北模拟预测)下图是延安革命纪念馆陈列的一个正四棱台形状的木盒子,它是以前计量粮食用的斗,纪念馆测得该正四棱台(每个面的厚度忽略不计)的下底面边长为38厘米,上底面边长为32厘米,侧棱长为23厘米,则斗的侧面与底面夹角的余弦值为()

A.3

4.(2024河南封丘一中月考)如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,测得从D,C到水库底面与水坝斜面的交线AB的距离分别为DA=52m,CB=5m,又测得AB的长为5m,CD的长为56m,则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为.?

5.(2023江苏G4联盟联考)如图,在轴截面为正方形ABCD的圆柱中,M,N分别为弧AD,

(1)求证:四边形ANCM是矩形;

(2)求二面角B-MN-C的平面角的余弦值.

6.如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且CD=BE=2,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到图②中的四棱锥A-BCDE,其中AO=3.

(1)证明:AO⊥平面BCDE;

(2)求二面角A-CD-B的平面角的余弦值;

(3)求直线CB与平面ABE夹角的正弦值.

答案与分层梯度式解析

专题强化练10空间角的有关计算

1.A如图所示,

连接BC1交B1C于点E,取A1C1的中点D,连接DE,B1D,

易知E为BC1的中点,所以DE∥A1B且DE=12A1B,则∠DEB1(或其补角)为异面直线A1B与B1

易得A1B=B1C=AA12+AB2=32

故在△DB1E中,cos∠DEB1=DE

2.A如图所示,连接A1C1,交B1D1于点O,

易得DD1⊥平面A1B1C1D1,OC1?平面A1B1C1D1,

所以DD1⊥OC1,

又B1D1⊥OC1,B1D1∩DD1=D1,B1D1,DD1?平面BB1D1D,

所以OC1⊥平面BB1D1D,

取OB1的中点H,连接EH,易得EH∥OC1,

所以EH⊥平面BB1D1D,连接BH,

则∠HBE为BE与平面BB1D1D的夹角.

因为AB=2,AA1=7,

所以EH=12

所以sin∠HBE=EHBE

3.A如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,设上、下底面的中心分别为O1,O,B1C1,BC的中点分别为E,H,连接EH,O1E,OH,OO1,过E作EF⊥OH,垂足为F,

易得O1E∥OH,所以O,H,E,O1四点共面.

因为侧面BB1C1C为等腰梯形,所以EH⊥BC,

易得OH⊥BC,

因为EH∩OH=H,EH,OH?平面OHEO1,

所以BC⊥平面OHEO1,

又EH?平面BB1C1C,OH?平面ABCD,

所以∠EHF即为侧面BB1C1C与底面ABCD所成二面角的平面角,

即∠EHF即为斗的侧面与底面的夹角,

由题意可知O1E=16,OH=19,所以FH=19-16=3,

在等腰梯形BCC1B1中,BB1=23,则EH=BB

在Rt△EFH中,cos∠EHF=FHEH

所以斗的侧面与底面夹角的余弦值为3130

故选A.

4.答案3

解析如图,过点B作BE∥AD且BE=AD,连接DE.

因为AD⊥AB,所以四边形ABED是矩形,

所以BE⊥AB,又BC⊥AB,所以∠CBE是所求二面角的平面角.

因为DE∥AB,BC⊥AB,

所以BC⊥DE,

又BE⊥DE,BC∩BE=B,BC,BE?平面BCE,

所以DE⊥平面BCE,

又CE?平面BCE,所以DE⊥CE,即∠DEC=90°,

因为四边形ABED是矩形,

所以AB=DE=5m,BE=AD=52m,

故在Rt△DEC中,CE=DC

在△CBE中,由余弦定理得cos∠CBE=BC

又0∠CBEπ,所以∠CBE=3π

故水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为3π

5.解析(1)证明:设正方形ABCD的边长为2a,取弧BC的中点Q,使Q与M同在平面ABCD的一侧,连接MQ,BQ,CQ,NQ,

则BC与NQ互相垂直平分,且BC=NQ=2a,

所以四边形BNCQ为正方形,BQ=NC=2a,

因为M为弧AD的中点,所以MQ??AB,

所以四边形ABQM为平行四边形,

所以AM??BQ,所以AM??CN,

所以四边形ANCM为平行四边形,

又AN=AB

所以AM2+AN2=MN2,所以AM⊥AN,