高中数学人教A版选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程2.1.1倾斜角与斜率 (1).docx

教学设计

课程基本信息

学科

（数学）

年级

（高二）

学期

(秋季)

课题

(倾斜角与斜率)

教学目标

1.能以直角坐标系为参照系，得出平面直角坐标系中，确定直线位置的几何要素-----一点和一个方向。

2.能准确说出直角坐标系中刻画直线方向的几何方法，能说明用倾斜角刻画直线倾斜程度的合理性。

3.能用向量法推导过两点的直线斜率的计算公式，能说出其中所蕴含的数学思想和方法。

4.在探索确定直线位置的几何要素、定义直线的倾斜角和斜率的概念、推导过两点的直线斜率的计算公式的过程中，体会坐标法思想，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养。

教学重难点

教学重点：

1.直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式。

教学难点：

1.用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率与直线上任意两点坐标之间的关系。

教学过程

环节一创设情境，引入课题

引导语：我们知道在平面直角坐标系中点与有序数对是一一对应的，而图形是由点所构成的，所以我们可以想象，图形也可以用代数的方法来表示。从本章开始我们将借助坐标系通过一种新的方法-----坐标法，将几何的基本元素“点”和代数的基本元素“数”有机结合起来，在此基础上建立曲线方程，把几何问题转化为代数问题，再通过代数的方法研究几何图形的性质。像这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算来研究几何图形性质的方法叫做坐标法。我们把它称为解析几何。解析几何是由十七世纪法国数学家笛卡尔等人创立，数学从此进入变量数学时期，为微积分的创建奠定了基础。

问题1：回顾平面几何的学习，我们主要研究了哪些类型的图形？所用的研究方法是什么？

我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来．

我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过代数运算来研究几何图形性质的目的.

为了用代数方法研究直线的有关问题，需要把直线代数化.也就是教科书中提到的“直线如何表示?”，这个表示指的就是代数化.何为代数化？如何代数化？

师生活动：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法的基础上，指出本章要用坐标法对这些对象进行再研究，并说明坐标法与综合法的异同，特别要强调坐标法实现了对图形性质的定量化研究.

设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容.

环节二观察分析，感知概念

问题2：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？

师生活动：学生独立思考并回答.学生的最常见的回答是“两点确定一条直线”.

追问：还有没有其他确定一条直线的方法？

思考

确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线（图2.1-1)，如何利用坐标系确定它的位置？

我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．

问题3：下面我们利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素.观察图2.1-2中经过定点P的直线束，它们的区别是什么？你能用利用直角坐标系中的一些元素将这些直线区分开来吗？

设，为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线．

在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束（图2.1-2)，这些直线的区别是什么？

师生活动：教师引导学生思考，得出一点和一个方向也能确定一条直线，并把两点确定一条直线归结为一点和一个方向确定一条直线.

设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和一个方向”也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素.

在上述探究过程中，学生的第一反应是与x轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.

在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．因此，这些直线的区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？

我们看到，这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是它们与轴所成的角不同．因此，我们可以利用图2.1-2的角来表示这些直线的方向．

师生活动：学生可能会指出这些直线的区别在于它们的方向不同，也可能会说这些直线与x轴所成的角不同.在学生充分讨论的基础上，教师可以引导学生思考，以平面直角坐标系中坐标轴为基准规定直线的方向，并用直线与x轴形成的角刻画直线的方向，在此基础上引入倾斜角的概念.

设计意图：让学生通过观察过同一点的不同位置的