微专题21 高斯函数、狄利克雷函数与最值函数及其应用3种常考题型总结（原卷版）-人教A版2019必修第一册高一数学习题.pdf

微专题21高斯函数、狄利克雷函数与最值函数及其应用

3种常考题型总结

题型1高斯函数题型3最值函数

题型2狄利克雷函数

1.高斯函数yx

(1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定

最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.

(2)性质

①定义域：R；值域：Z.

②不具有单调性、奇偶性、周期性.

(3)图象

1,xQ

2.狄利克雷函数D(x)

0,xQ



(1)定义域R；值域{0，1}.

(2)奇偶性：偶函数.

(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.

(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在.

3.最值函数

a，a≤b，a，a≥b，

设min{a，b}＝{，＞，max{a，b}＝{，＜

babbab.

直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表

示a，b的最大值，称作最大值函数.

题型1高斯函数

xRxxyx-2.1-3

1设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，

【例】

3.13(x+1)21yéfxù

．已知函数fx2-，则函数ëû的值域是（）

x+12

0,10,1,2-1,0,1-1,0,1,2

A．B．C．D．

“”110

1高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字高斯命名的成果达个．高

【变式】

斯函数y[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1,8]1,[-1.9]-2．若函数

yx-[x]-1+logx(a0,a¹1)有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（）

a

A．(3,4]B．(3,4)C．(4,5]D．[4,5)

【变式2】函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例

如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[logx]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝________.

2

【变式3】设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数