河北南宫中学2023-2024学年4月高三学业水平考试数学试题试卷.doc

河北南宫中学2023-2024学年4月高三学业水平考试数学试题试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（）

A． B．

C． D．

2．函数且的图象是（）

A． B．

C． D．

3．已知满足，则（）

A． B． C． D．

4．已知向量，，且，则（）

A． B． C．1 D．2

5．函数f(x)=2x-3

A．[32

C．[32

6．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（）

A． B．或 C． D．

7．集合，则（）

A． B． C． D．

8．已知等差数列的前n项和为，，则

A．3 B．4 C．5 D．6

9．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（）

A． B．0 C．1 D．

10．已知集合A，则集合（）

A． B． C． D．

11．若不相等的非零实数，，成等差数列，且，，成等比数列，则（）

A． B． C．2 D．

12．双曲线﹣y2=1的渐近线方程是（）

A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，，且，则的最小值是______.

14．正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，记与的轨迹构成的平面为．

①，使得；

②直线与直线所成角的正切值的取值范围是；

③与平面所成锐二面角的正切值为；

④正方体的各个侧面中，与所成的锐二面角相等的侧面共四个．

其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号）

15．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为_______．

16．函数的图象在处的切线方程为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，设为的导数，．

（1）求，；

（2）猜想的表达式，并证明你的结论．

18．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：

考试情况

男学员

女学员

第1次考科目二人数

1200

800

第1次通过科目二人数

960

600

第1次未通过科目二人数

240

200

若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.

（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元，求的分布列与数学期望.

19．（12分）已知件次品和件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束．

（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（2）已知每检测一件产品需要费用元，设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列．

20．（12分）如图，已知椭圆C:x24+y2=1，F为其右焦点，直线l:y=kx+m(km0)与椭圆交于P(x1

(I)试用x1表示|PF|

(II)证明：原点O到直线l的距离为定值.

21．（12分）已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最大值为，若，证明：.

22．（10分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若方程有两个实根，且，求证：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由题