专题12.15 三角形全等几何模型（半角模型）（人教版）（教师版） 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）.pdf

专题12.15三角形全等几何模型（半角模型）

第一部分【知识点归纳】

【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三

角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。

【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两

边相等。

【类型】如下图，有三类型半角模型

【解题思路】

半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具

体步骤如下：

（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题时通常

不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；

（2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式

得到三角形，则没有这一步）；

（3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）；

（4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】“等边三角形含半角”模型

23-24··ABCD

【例1】（七年级下全国课后作业）如图，在四边形中，

ABAD,BD90,BAD60,E,F分别是BC,CD上的点，且EAF30．求证：EFBEDF．

CBBGDFAG

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长至点G，使，连接，先证明

ABG≌ADFSASAFAG,13AEG≌AEFSAS

，得到；再证明EAGEAF，进而证明，

得到GEFE，则EFGEBEBGBEDF．

CBBGDFAG

证明：如图，延长至点G，使，连接．

ABG△ADF

在和中，

ABAD



ABGD90

BGDF



ABG≌ADFSAS

∴，

∴AFAG,13．

∵12603030，

∴2330，

∴EAGEAF．

在△AEG和△AEF中，

AEAE



EAGEAF，

AGAF



AEG≌AEFSAS

∴，

∴GEFE，

∴EFGEBEBGBEDF．

22-23··ABCDABADBCCDABBC

【变式】（八年级上河北石家庄期中）已知四边形中，，，，

ABC120，MBN60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

1MBNAECF1AE、CF、EF

（）当绕B点旋转到时（如图），试猜想线段之间存在的数量关系为

__________

．（不需要证明）；

2MBNAECF23

（）当绕B点旋转到时，在图和图这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请

给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．

【答案】(1)AECFE