专题04 三角形全等-半角模型(解析版) .pdfVIP

半角模型

模型讲解

【结论一】（等腰直角三角形半角模型）

如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边

BC上，且∠MAN=45°，则有以下结论成立：

（1）MN2=CM2+AN2

（2）△BNA∽△CAM

【证明】：（1）

（过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°．

∵CE⊥BC，

∴∠ACE＝∠B＝45°．

在△ABM和△ACE中，

∴△ABM≌△ACE（SAS）．

∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．

∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，

∴∠BAM+∠CAN＝45°．

于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．

在△MAN和△EAN中，

1

∴△MAN≌△EAN（SAS）．

∴MN＝EN．

22+NC2

在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN＝EC．

∴MN2＝BM2+NC2．

【证明】：（2）

∵∠AMC=∠B+∠BAM；∠BAN=∠MAN+∠BAM；∠B=∠MAN=45°

∴∠AMC=∠BAN

在△BAN和△CMA中，

∠AMC=∠BAN

∠C=∠B

∴△BNA∽△CAM

【结论二】（正方形半角模型）

如图：正方形ABCD，∠EAF=45°．对角线BD与AE、AF分别相交于M、N，

设正方形的边长为a，则：

（1）MN2=BM2+DN2

（2）△BNA∽△CAM

（3）BE+DF=EF．

（4）△ECF的周长=2a

（5）S△AEF=S△ABE+S△ADF

（6）AE平分∠BEF，AF平分∠DFE

（7）AE=AN，AF=AM，EF=MN．

2

（1）（2）由结论一已证

【证明】：（3）

如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠EAF＝45°，

在△AEF和△AEH中，

，

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH＝EF，

∴∠AEB＝∠AEF，

∴BE+BH＝BE+DF＝EF

由（3）可得（4）、（5）、（6）

【证明】：（7）连接EN

∵∠EAN＝∠NBE=45