《微积分》教案 1.7 连续函数的四则运算与初等函数的连续性.docx

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课题

连续函数的四则运算与初等函数的连续性

课时

4课时（180min）

教学目标

知识技能目标：

（1）了解复合函数的连续性

（2）掌握初等函数的连续性

（3）熟悉闭区间上连续函数的性质

素质目标：

（1）通过与实际联系，帮助学生理解函数的连续性，体会数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的

（2）引导学生养成独立思考和深度思考的好习惯，培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力

教学重难点

教学重点：初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质

教学难点：会用初等函数的连续性求极限，能够使用闭区间上连续函数的性质解决问题

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

案例导入

【教师】提出问题：

在前一节我们已经知道什么样的函数是连续的．那么连续函数经过各种运算是否仍然连续呢？请试着讨论函数和的连续性．

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点

一、连续函数的四则运算

【教师】提出连续函数的四则运算定理

由函数在一点处连续的定义和函数极限的四则运算法则，可以得到如下定理．

定理1.7.1设函数和在点处连续，那么

（1）函数；

（2）函数；

（3）函数（当时）

都在点处连续．

例1因为与都在上连续，所以根据定理1.7.1的（3），与也在各自定义域内连续．

定理1.7.1的直接推论是连续函数的线性法则：在定理1.7.1的假设条件下，对于任意实数，，函数在处连续．

二、复合函数的连续性

【教师】介绍复合函数的连续性定理

定理1.7.2设函数在点处连续，函数在点处连续，且，则复合函数在点处连续．

可见，求复合函数的极限时，如果函数在点处的极限存在，且在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换．这里把本章第三节中关于求复合函数的极限法则的运用推广到了一般的连续函数．

【教师】通过例题，使学生学会利用复合函数的连续性解决问题的方法

例2讨论函数的连续性．

解函数可看作由及复合而成的复合函数，在上是连续的，在和内是连续的，根据定理1.7.2知，函数在区间和内是连续的．

例3求极限．

解函数是由与复合而成的复合函数，因为

，而函数在处连续，故极限符号可以与函数符号交换，从而有

．

三、反函数的连续性

【教师】提出反函数的连续性定理

定理1.7.3如果函数在区间上单调递增（或递减）且连续，那么它的反函数也在对应的区间上单调递增（或递减）且连续．

例如，由于在闭区间上单调递增且连续，所以，它的反函数在区间上也单调递增且连续．

同样可得函数在区间上单调递减且连续；在内单调递增且连续；在内单调递减且连续．

总之，反三角函数，，，在它们的定义域内都是连续的．

四、初等函数的连续性

【教师】在上述三个定理的基础上，提出初等函数的连续性定理

我们已经知道基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的．在上述三个定理的基础上，我们还可得到下列重要结论：一切初等函数在其定义区间内都连续．

例如，初等函数，，等都在其定义区间内连续．

利用初等函数连续的结论可得：如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么．因此计算当时的极限，只要计算其对应的函数值就可以．

例如，是初等函数定义区间内的点，所以

．

又如，的定义区间是，，则

．

再如的定义区间是，，所以

．

【教师】通过例题，使学生学会利用初等函数的连续性解决问题的方法

例4求．

解．

例5求．

解函数可视为由函数

复合而成的复合函数，尽管在点处无定义，但由于

，

而在对应点处连续，因此由复合函数的极限运算法则得

．

例6设函数

，

选择适当的数，使得成为在内的连续函数．

解当时，是初等函数，根据初等函数的连续性，连续；当时，也是初等函数，所以也是连续的；在处，．又

，

．

故．因此，当选择时，在处连续．

综上所述，在内成为连续函数．

五、闭区间上连续函数的性质

【教师】介绍闭区间上连续函数的三个定理及推论

闭区间上的连续函数有很多性质，利用连续函数的几何图形可以很容易理解这些性质，但证明这些性质却不容易且超出了本书的范围，所以下面仅以定理的形式把这些性质叙述出来，而略去证明．

定理1.7.4（最大值和最小值定理）闭区间上连续函数必有最值．

如图1-18所示给出了该定理的几何直观图形．

注意定理的条件是充分的，也就是说，在满足定理条件下，函数在闭区间上一定能取得最大值和最小值．在不满足定理条件下，有