《微积分》教案 1.5 无穷小与无穷大.docx

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课题

无穷小与无穷大

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解无穷小与无穷大的概念

（2）掌握无穷小的性质，并掌握运用性质求极限，掌握等价无穷小的替换原则及求极限的方法

素质目标：

（1）通过本节内容，理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题

（2）通过求极限的题目，培养学生主动归纳、举一反三的能力，让学生体验数学在实际生活中的运用，培养学生的创新意识和探索精神

教学重难点

教学重点：无穷小的性质，等价无穷小的替换原则

教学难点：会用等价无穷小替换求极限

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

案例导入

【教师】提出问题：

考察下列两组函数的极限：

（1）；

（2）．

第一组的极限都是零，第二组的极限都是无穷大（有正无穷大，有负无穷大，也有无穷大），下面我们就研究这两种极限情况．

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解无穷小与无穷大的相关知识

一、无穷小

1．无穷小的定义

图1-14【教师】通过简单的例子，提出

图1-14

考察函数．如图1-14所示，当从左右两个方向无限趋近于1时，都无限地趋向于0．

对于这种变化趋势，我们给出以下定义：

定义1.5.1如果当时，函数的极限为0，那么就称函数为时的无穷小，记作

．

例如，因为，所以函数是当时的无穷小．

上述时无穷小的定义，很容易推广到，，，时的情形．

例如，因为，所以函数是当时的无穷小．

因此，本节导引中的第一组极限都是相应条件下的无穷小．

注意（1）一个函数是无穷小，是与自变量的变化过程紧密相连的，因此必须指明自变量的变化过程．例如，函数是当时的无穷小，而当趋向于其他数值时，它就不是无穷小了．

（2）不要把绝对值很小的常数（如或）说成是无穷小，无穷小表示的是一个函数，这个函数在自变量某个变化过程中的极限为0，而这些数无论自变量是何种变化过程，其极限都不是0．

（3）零这个常数作为无穷小是特殊情形，因为常数零在自变量的任何一个变化过程中，极限总是零，因此零是无穷小中唯一的常数．

2．无穷小的性质

【教师】提出无穷小的性质

性质1有限个无穷小之和（差）仍是无穷小．

性质2有界函数与无穷小之积仍是无穷小．

推论1常数与无穷小之积仍是无穷小．

推论2有限个无穷小之积仍是无穷小．

【教师】通过解决例题，强调使用无穷小的性质解决极限问题的方法

例1求．

解因为，所以是时的无穷小．而，所以是有界函数．根据无穷小的性质2，可知．

例2求．

解因为，令，则，，根据第一个重要极限，可知．

例3求．

解因为，而是当时的无穷小，是有界函数．根据无穷小的性质2，可知．

那么，两个无穷小的商是否也是无穷小呢？答案是否定的．例如，，，都是当时的无穷小，但当时它们的比会出现下列多种情况：；；；极限不存在．

3．函数极限与无穷小的关系

【教师】提出函数极限与无穷小的关系

无穷小之所以重要，是因为它与极限有密切的关系，下面的定理将说明函数、函数的极限与无穷小三者之间的重要关系．

定理1.5.1，其中，即当时以为极限的充分必要条件是能表示为与一个时的无穷小之和．

这个定理是证明前面极限四则运算法则的主要根据．

二、无穷大

【教师】通过简单的例子，提出无穷大的定义

图1-15无穷小是绝对值无限变小的变量，它的对立面就是绝对值无限增大的变量，称为无穷大量

图1-15

考察函数．如图1-15所示，当从左右两个方向趋近于1时，都无限地增大．对于这种变化趋势，给出下列定义．

定义1.5.2如果当时，函数的绝对值无限增大，那么称函数为当时的无穷大．

如果函数为当时的无穷大，那么它的极限是不存在的．但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作

．

注意式中的“”是一个记号而不是确定的数，记号的含义仅表示“的绝对值无限增大”．

例如，当时，无限增大，所以是当时的无穷大，记作．

上述时的无穷大的定义，可以很容易推广到，，，时的情形．

又如当时，无限增大，所以是当时的无穷大，记作．

当时，总取正值而无限增大，所以是当时的无穷大，记作．

当时，总取负值而无限减小，所以是时的无穷大，记作．

注意（1）一个函数是无穷大，是与自变量的变化过程紧密相连的，因此必须指明自变量的变化过程．例如函数是当时的无穷大，而当趋向于其他数值时它就不是无穷大．

（2）不要