专题05 圆中的重要模型-圆幂定理模型（解析版）.pdfVIP

专题05圆中的重要模型--圆幂定理模型

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

模型1.相交弦模型

条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。

ECEA

结论：CAEBDEÞ=ÞEC×ED=EB×EA。

EBED

12023··BCOOAPPB=3，PC=4

例．（广西九年级假期作业）如图：若弦经过圆的半径的中点，且，则圆

O的直径为（）

A．7B．8C．9D．10

B

【答案】

AOeODAP=OP=xAPB∽CPD

【分析】延长交于，设，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即

可．

AOeODAB,CD

【详解】解：延长交于点，连接，

设AP=OP=x，∴PD=OP+OD=OP+OA=3x，



∵BD=BD，∴ÐA=ÐC，∵ÐAPB=ÐCPD，∴APB∽CPD，

APBPx3

∴=∴=x=2x=2

，，解得或-2（舍去），经检验是原方程的解，

PCPD43x

∴AD=4x=8∴O8B

．圆的直径为．故选：．

【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以

上知识点．

22023··ABCBC=CDAC

例．（山东菏泽九年级统考期中）如图，已知、、、D在同一个圆上，，与BD

交于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，则BD=．

7

【答案】

△ABC∽△BEC2ECAEBE

【分析】根据题意易得，则有BC=CE×AC，即可求得、的值，利用相交弦定理可得

与DE的积，又线段BE、ED为正整数，且在△BCD中，BC+CDBE+DE，进而可求解．

QBC=CD\∠BAC=∠DACQ∠DBC=∠DAC\∠BAC=∠DBC

【详解】解：，，，，

2

又Q∠BCE=∠ACB，\△ABC∽△BEC，\BC=CE×AC，QAC=8，CD=4，\EC=2，AE=6，

QÐBAE=CDE,ÐAEB=ÐDEC，\AEB∽DEC，\BE×DE=AE×EC，即BE×DE=12，

又由线段BE、ED为正整数，且在△BCD中，BC+CDBE+DE，

\BE=3DE=4BE=