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三角形相似模型

知识框架

相似模型

(一)金字塔模型(二)沙漏模型

AEFD

A

DFE

BGCBGC

ADAEDEAF

①；

ABACBCAG

②S：SAF2:AG2．

△ADE△ABC

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，

与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

例题精讲

一、沙漏模型

【例1】四边形ABCD被AC和DB分成甲乙丙丁4个三角形，已知BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,问：丙、

丁两个三角形之和是甲乙两个三角形面积之和的多少倍？

【考点】沙漏模型【难度】1星【题型】解答

【解析】因为AE:CE=BE:DE=1:2，所以ADBC，即ABCD为梯形，并且三角形AED与三角形BEC

相似。因此S:S:S:S1:2:2:4

AEDAEBCEDCEB

。

故(SS):(SS)(22):(41)4:5

甲乙丙丁

五年级奥数.几何.三角形相似模型（A级）.教师版Page1of14

5

【答案】。

4

【巩固】梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。则整

个梯形的面积为多少？

【考点】沙漏模型【难度】1星【题型】解答

【解析】同上题，△AOD与△BOC形状相同，大小成比例，这个比例为：AD：BC＝1：3，所以它们的

面积比为1：9。而△AOB的面积则是二者之间的过渡量，即比例中的3份。把△AOB的面积

看成3份，那么1份是：12÷3＝4（平方厘米）。这样△AOD、△BOC和△COD的面积分别是

1份、9份、3份；梯形ABCD的面积为：4×（3＋1＋9＋3）＝64（平方厘米）。

【答案】64平方厘米。

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少?

【考点】沙漏模型【难度】2星【题型】解答

EBFBEB4

【解析】方法一：因为有CB平行与DA。有,有FBDA102,所以

EADAEA416

CF=CB-FB=10-2=8．

方法二：如上图所示，连接DB，CE．有DC：