初二数学题(含详细解析) .pdfVIP

（2003•黑龙江）已知：如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，

AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG=

二分之一（AB+AC+BC）．

若：（1）BD、CE分别是△ABC的内角平分线（如图2）；

（2）BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线（如图3），

则在图2、图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，

并对其中的一种情况给予证明．

考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．

专题：开放型．

分析：（1）都是内角平分线时，可根据等腰三角形三线合一的特点来求解，由于DB平分∠

ABC，且AF⊥BD，如果延长AF交BC于K，那么三角形ABK就是个等腰三角形，AF=FK，

如果延长AG到H，那么同理可证AG=GH，AC=CH，那么GF就是三角形AHK的中位线，

GF就是HK的一半，而HK=BK-BH=BK-（BC-CH），由于BK=AB，CH=AC，那么可得出

FG=二分之一（AB+AC+BC）．

（2）证法同

（1）先根据题目给出的求法，得出GD是AC的一半，然后按（2）的方法，通过延长AF

来得出DF是（BC-AB）的一半，由此可得出FG=二分之一（AB+AC+BC）．

解答：解：（1）猜想结果：如图结论为FG=二分之一（AB+AC+BC）．

证明：分别延长AG、AF交BC于H、K，

在△BAF和△BKF中，

∵

∠ABD=∠FBK

BF=BF

∠BFA=∠BFK

∴△BAF≌△BKF（ASA），

∴AF=KF，AB=KB

同理可证，AG=HG，AC=HC

∴FG=二分之一HK

又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC

∴FG=二分之一（AB+AC+BC）．

（2）图3的结论为FG=二分之一（BC+AC-AB）．

证明：分别延长AG、AF交BC或延长线于H、K

在△BAF和△BKF中，

∵

∠ABD=∠DBK

BF=BF

∠BFA=∠BFK

∴△BAF≌△BKF（ASA），

∴AF=KF，AB=KB

同理可证，AG=HG，AC=HC，

∴FG=二分之一HK

又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB．

∴FG=二分之一（BC+AC-AB）．

点评：本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质以及全等三

角形的判定等知识点．

已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，

BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果

保持不变，请给出证明；如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．

考点：三角形内角和定理；角平分线的定义．

专题：探究型．

分析：根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．

解答：解：∠C的大小保持不变．理由：

∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，

∴∠ABE=

∠ABY=二分之一（90°+∠OAB）=45°+二分之一∠OAB，

即∠ABE=45°+∠CAB，

又∵∠ABE=∠C+∠CAB，

∴∠C=45°，

故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．

点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：

①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；

②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°且DC=2AB，分别以DA、AB、BC

为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）

A．S1+S3=S2B