人教版高中数学必修一 精讲精练4.4 对数函数（精讲）（原卷版）.docx

4.4对数函数（精讲）

一．对数函数的概念

1.概念：一般地，函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).

2.概念理解

(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a0，且a≠1.

(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.

二．对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象和性质

a1

0a1

图象

性

质

定义域

(0，＋∞)

值域

R

过定点

过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0

函数值

的变化

当0x1时，y0，

当x1时，y0

当0x1时，y0，

当x1时，y0

单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

对数函数图像

两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.

四.反函数

一般地，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.

对数函数的判断

1.系数：对数符号前面的系数为1

2.底数：对数的底数大于0且不等于1

3.真数：对数的真数仅有自变量x

二．定义域

1.分母不能为0；

2.根指数为偶数时，被开方数非负；

3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

三．比较对数值大小

1.同底数的利用对数函数的单调性.

2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

3.底数和真数都不同，找中间量.

4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

四.y＝logaf(x)型函数性质

1.定义域：由f(x)0解得x的取值范围，即为函数的定义域.

2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.

3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)

4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.

5.最值：在f(x)0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.

6.logaf(x)logag(x)型不等式的解法

(1)讨论a与1的关系，确定单调性；

(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.

7.两类对数不等式的解法

(1)形如logaf(x)logag(x)的不等式.

①当0a1时，可转化为f(x)g(x)0；

②当a1时，可转化为0f(x)g(x).

(2)形如logaf(x)b的不等式可变形为logaf(x)b＝logaab.

①当0a1时，可转化为f(x)ab；

②当a1时，可转化为0f(x)ab.

考点一对数函数的概念

【例1-1】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（????）

A． B．

C． D．（是常数）

【例1-2】（2023秋·高一课时练习）若函数是对数函数，则a的值是（????）

A．1或2 B．1

C．2 D．且

【一隅三反】

1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（????）

A． B． C． D．

2．（2023秋·高一课前预习）在中，实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数中，实数的取值可能是（）

A． B．3

C．4 D．5

考点二对数函数的定义域

【例2-1】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数的定义域为（）

A． B．

C． D．

【例2-2】（2023秋·辽宁）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.

【例2-3】（2023秋·江苏连云港·）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是．

【一隅三反】

1．（2023秋·高一课时练习）函数的定义域是（????）

A．

B．或

C．

D．或

2．（2023秋·宁夏银川）函数的定义域为（????）

A． B． C． D．

3．（2023春·浙江温州）函数的定义域为（????）

A． B． C． D．

考点三对数函数图像的辨析

【例3-1】（2023·云南保山）函数与（其中）的图象只可能是（????）

A．??B．??C．??D．??

【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若，则函数的图象不经过（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例3-3】（2023秋·高一课时练习）若函数且的图象恒过定点，则实