《20.4一次函数的应用》学习任务单.doc

《20.4一次函数的应用》学习任务单

##一、学习目标

1、能理解一次函数在实际问题中的意义，会根据实际问题列出一次函数关系式。

2、掌握利用一次函数解决实际问题的步骤，包括确定自变量的取值范围等。

3、通过实际问题的解决，提高分析问题和解决问题的能力，感受数学与生活的紧密联系。

##二、学习内容分解

1、**一次函数与实际情境的联系**

-理解实际问题中的变量关系，例如行程问题中的路程、速度和时间，销售问题中的售价、成本和利润等，这些变量之间可能存在一次函数关系。

-学会从实际问题的描述中找出关键信息，确定自变量和因变量。

2、**列出一次函数关系式**

-根据实际问题中的数量关系，设出合适的自变量和因变量，然后利用已知条件列出一次函数的表达式，一般形式为y=kx+b（其中k、b为常数，k≠0）。

-例如在行程问题中，如果速度是常数，路程y与时间x的关系可能是y=vx（这里的v就是速度，相当于一次函数中的k）。

3、**确定自变量的取值范围**

-考虑实际问题中的限制条件，确定自变量的取值范围。比如在销售问题中，销售量不能是负数；在工程问题中，工作时间不能超过总工期等。

4、**利用一次函数解决实际问题**

-包括求解最值问题，如利润最大时的销售量；比较不同方案的优劣，如不同租车方案的费用比较等。

##三、学习步骤

###（一）导入

1、老师先给大家讲个小故事：小明去商店买笔，一支笔的成本是2元，商店想赚点钱，打算在成本的基础上加价出售。如果每支笔的售价是y元，加价的金额是x元，那么售价和加价金额之间有什么关系呢？让同学们思考并回答，引出一次函数在实际生活中的应用这个话题。

2、展示一些生活中可能涉及一次函数关系的图片，如出租车计价器（路程和费用的关系）、水电费账单（用量和费用的关系）等，简单介绍这些现象背后可能存在的一次函数关系。

###（二）知识讲解

1、实际问题中的变量关系

-老师再举几个不同类型的实际问题例子，如行程问题：一辆汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，行驶的路程y（千米）与行驶时间x（小时）的关系；销售问题：某商品进价为50元，售价为y元，每个商品的利润为x元，售价和利润的关系等。

-让同学们分组讨论这些问题中的变量关系，每组选一个代表发言，说说他们找到的自变量和因变量分别是什么。

2、列出一次函数关系式

-针对同学们的回答，老师进行总结和补充，然后详细讲解如何根据这些变量关系列出一次函数关系式。

-例如对于汽车行驶的例子，根据路程=速度×时间，可列出关系式y=60x；对于商品销售的例子，售价=进价+利润，可列出关系式y=50+x。

-给同学们一些类似的简单实际问题，让他们自己尝试列出一次函数关系式，然后同桌之间互相检查。

3、确定自变量的取值范围

-老师提出问题：在上面的汽车行驶问题中，时间x有没有限制呢？在销售问题中，利润x有没有范围呢？引导同学们思考。

-讲解在实际问题中确定自变量取值范围的重要性，比如汽车行驶时间不能是负数，而且如果汽车总的行驶里程有限制，那么时间也会有上限；在销售问题中，利润不能是负数，否则就会亏本等。

-给出一些实际问题，让同学们确定自变量的取值范围，然后小组交流讨论，看看不同小组的答案是否一致。

4、利用一次函数解决实际问题

-以一个利润最大化的销售问题为例：某商品的成本是30元，售价为y元，销售量为x件，销售量和售价之间的关系是x=100-2y，求利润最大时的售价。

-先引导同学们分析利润的计算方法，利润=（售价-成本）×销售量，即利润P=(y-30)(100-2y)，然后将其展开并转化为二次函数的形式，再通过求二次函数的最值来解决问题。

-讲解完这个例子后，再给同学们一些类似的实际问题，让他们分组进行解决，每个小组要写出详细的解题步骤，最后每组派一个代表上台讲解他们组的解题思路和答案。

###（三）课堂练习

1、给出一些实际问题，如：

-某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租费30元，每分钟通话费0.3元；B种方式是没有月租费，每分钟通话费0.4元。设每月通话时间为x分钟，通话费用为y元。

-（1）分别写出两种收费方式下y与x之间的函数关系式。

-（2）当每月通话时间为多少分钟时，两种收费方式的费用相同？

-（3）如果你是用户，你会选择哪种收费方式？

2、某工厂生产一种产品，每件产品的成本是50元，工厂想通过降低成本来提高利润。如果每件产品的成本降低了x元，销售量为y件，销售量和成本降低金额之间的关系是y=200+10x，求成本降低多少元时利润最大？（利润=（售价-成本）×销售量，假设售价为100元）

-让同学们