北师大高中数学选择性必修第一册2.1.1椭圆及其标准方程 课件.pptxVIP

1.1椭圆及其标准方程

自主预习

互动学习

达标小练

[课标解读]1.能说出椭圆的定义及椭圆的有关概念.2.能根据定义写出椭

圆的标准方程.3.会求简单的椭圆方程.

[素养目标]水平一：椭圆的定义及椭圆的标准方程推导(数学运算).水平二：根据定义写出椭圆的标准方程(逻辑推理).

自主预习

我们把平面内到两个定点F₁,F₂的距离之和等于常数(大于|F₁F₂I)的点

的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点F₁,F₂叫作椭圆的焦点，两个焦点

F₁,F₂间的距离叫作椭圆的焦距

课前篇自主预习

··知识梳理·

1.椭圆上任意一点的坐标都是方的解；以方科

的解为坐标的点都在椭圆上.我们将方

0)叫作椭圆的标准方程，焦点坐标是F₁(一c,0),F₂(c,0),其中c²

a²-b²

2.如果椭圆的焦点在y轴上，其焦点坐标为F₁(0,—c),F₂(0,c),则

它的标准方程,其中b²=a²—c².

点P(xo,yo)和椭圆的位置关系有3种

(1)点P(xo,yo)在椭圆内

(2)点P(xo,yo)在椭圆上

(3)点P(xo,yo)在椭圆外

知识点三点和椭圆的位置关系

中

·问题初探·

1.定义中的常数为什么要大于焦距|F₁F₂|?如果小于或等于|F₁F₂l会出现什么情况?

提示：当常数等于|F₁F₂I时，轨迹是线段F₁F₂,当常数小于|F₁F₂I时，轨迹不

存在.

2.如何用几何图形解释b²=a²—c²?a,b,c在椭圆中分别表示哪些线段的长?

提示：椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借

恰构成一个直角三角形的三条边，a

且a²=b²+c²,其中c是焦距的一半.

助右图帮助记忆.a,b,c

是斜边，所以ab,ac,

中a,b的大小，如果ab0,则焦点在x轴上，如果

0ab,则焦点在y轴上。

3.如何判断焦点的位置?

提示：

互动学习

限，且∠PF₁F₂=120°,求△PF₁F₂的面积.

[解]由已知a=2,b=,

所以c=√a²—b2√4—3=1,

|F₁F₂I=2c=2.

[例1]如图所示，已知椭圆的方程若点P在第象

课堂篇互动学习

在△PF₁F₂中，由余弦定理，得

|PF₂I²=|PF₁IP+|F₁F₂I²—2|PF₁IF₁F₂|cos120°,即|PF₂IP²=|PF₁IP+4+2|PF₁I.①

由椭圆定义，得|PF₁I+|PF₂I=4,即|PF₂I=4—|PF₁I.②

②代入①解得

的面积

通法提炼

凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF₁|+|MF₂I= 2a(M为椭圆上的点，F₁、F₂是椭圆的焦点),一般进行整体变换；其次，考

虑该点的坐标(xo,yo)适合椭圆的方然后再进行代数转换.

(2)椭圆的焦距是16,两焦点的坐标分别是(-8,0),(8,0)

;若AB为过椭圆的焦点F₁的一条弦，F₂为另一焦点，则△ABF₂的周长是

40.

变式训练1(1)已知点P是椭轴右侧的一点，且以点P及焦点F,F,为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标

或

解析：(1)设P(x,y),由题意知c²=a²—b²=5—4=1,所以则

F₁(一1,0),F₂(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1,所以把

y=±1代99又x0,所以9

所以P点坐标为或

(2)由椭圆方程知a²=100,b²=36,

∴c²=a²—b²=64,∴c=8.∴焦距2c=16.

两焦点坐标为F₁(一8,0),F₂(8,0).

由椭圆的定义可知，△ABF₂的周长为AB|+|AF₂I+|BF₂I=(AF₁I+ |BF₁I)+|AF₂I+|BF₂I=(|AF₁I+|AF₂I)+(|BF₁I+|BF₂I)=2a+2a=4a=40.

●

意一点，求AC的垂直平分线1与线段CB的交点P

[解]如图所示，连接AP.

∵l垂直平分AC,

∴|AP|=|CP|.

∴|PB|+|PA|=|BP|+|CP|=4,

∴P点的轨迹是以