等式性质与不等式性质 教案.docxVIP

2.1等式性质与不等式性质教案

教学目标

1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的数量关系.

2.了解不等式（组）的实际背景.

3.了解不等式一些基本的性质.

教学重难点

教学重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，初步会比较两个代数式的大小.

教学难点：用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，以及作差法的应用.

教学过程

新课导入

在日常生活中，我们经常看到下列标志：

师：你知道图中的两个标志有何作用吗？其含义分别是什么？你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？

生：限速行驶和限高行驶，，.

新知积累

探究一：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

（1）某路段限速40km/h；

（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

答：对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40.

对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c.

对于（4），如图，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE.

探究二：利用不等式研究问题

某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？

答：设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为万元．于是不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为．①．

师：求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围.如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.

实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.

由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a＞b.

探究三：比较两个数(式)的大小的方法

如果是正数，那么；如果等于0，那么；如果是负数，那么，反过来也对.

这个基本事实可以表示为

?；

?；

?.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.

例题点拨

例1比较和的大小.

分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.

解：因为

，

所以.

本题借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式），这是解决不等式问题的常用方法——作差法.

探究四：重要不等式的探究和证明

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成下图.

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a，b（a≠b），那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为.由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式.

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时有.于是就有.

一般地，，有，当且仅当时，等号成立.

事实上，利用完全平方差公式，得.因为，，当且仅当时，等号成立，所以.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得，当且仅当时，等号成立.

通过等式性质可以发现，等式在运算中的不变性.类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？

探究五：不等式的性质

性质1如果，那么；如果，那么.即.

性质2如果，，那么.即.

性质3如果，那么.

性质4如果，，那么；如果，，那么.

性质5如果，，那么.

性质6如果，，那么.

性质7如果，那么.

例题点拨

例2已知，，求证.

分析：要证明，因为，所以可以先证明.

利用已知和性质3，即可证明.

证明：因为，所以，，

于是，即.

由，得.

课堂练习

1.已知，，那么a，b，，的大小关系是()

A. B.

C. D.

答案：C

解析：由，知，.

又，，.

2.若,,则下列不等关系中不一定成