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速度翻转后的不可压缩neoHookean圆柱管的有限变形
速度翻转后的不可压缩neoHookean圆柱管的有限变形
速度翻转后的不可压缩neoHookean圆柱管的有限变形
速度翻转后得不可压缩neo—Ｈoｏkｅan圆柱管得有限变形
研究了由径向横观各向同性不可压缩得nｅo—Ｈookeａn材料组成得圆柱形管在翻转后得有限变形问题。利用材料得不可压缩条件和半逆解法对相应得数学模型进行求解,并根据边界条件得到了翻转后得圆柱形管得内半径以及轴向伸长率应满足得非线性方程组、通过数值算例讨论了材料参数和结构参数对翻转后圆柱形管得内半径以及轴向伸长率变
化得影响。结果表明：初始厚度对翻转后圆柱形管得内半径与轴向伸长率没有本质上得影响；而径向各向异性参数却有本质上得影响,特别是在轴向伸长率方面。
：横观各向同性，超弹性圆柱管，翻转，轴向伸长率
1、引言
众所周知，以橡胶材料和类橡胶材料为主要得超弹性材料在机械工程、石油化工、航空航天等领域得应用非常广泛。更重要得是，其材料特性和几何特性都具有典型得非线性性质。而超弹性材料构成得圆柱管得翻转问题得理论和实验研究众多专家和学者关注得焦点。
Rivlin［1]首先研究了Ｍooｎey—Rivlin材料构成得圆柱形管得翻转问题。作者在文中假设了翻转后得形状仍然是圆柱形,并且翻转后得圆柱管得表面处于无约束状态，端部合力为零,最后在理论上证明了翻转后仍为圆柱形得结论、后来，Vargａ[2]得到大量具有不同几何特性得圆柱管翻转得实验结果。这些实验结果为：翻转后得形状都接近于端部略有扭曲得圆柱形，且扭曲只在端部区域。文献[１]得理论结果和文献［2]得实验结果表明除去端部,理论解和实际解非常接近。
此后，Cｈadwｉck和Haｄdon［3］研究了一系列由Ｏgdｅｎ［４]材料构成得圆柱形管得翻转问题。主要研究了翻转后圆柱形解得存在和唯一性。Chadwicｋ［5］理论上证明了所有得Mooｎeｙ－Riｖｌin材料翻转后圆柱形解存在且唯一范文。Ａdeｌeke［6］推广了Cｈaｄwick关于存在性和唯一性得结论，证明了对于由Ｔrｕeｓdeｌl和Nｏlｌ[7］提出得满足—不等式得所有材料得翻转后圆柱形解存在且唯一。关于圆柱形管其它类型得有限变形问题还可参见文献[８～11］。
本文主要研究由径向横观各向同性neｏ－Ｈｏokean材料组成得不可压缩超弹性圆柱管形翻转后得状态。首先基于非线性弹性力学得有限变形理论建立了相应问题得数学模型,并求得了描述翻转后得圆柱形管得内半径以及轴向伸长率应满足得非线性方程组。最后通过数值算例分析了材料参数和结构参数对翻转后得圆柱管有限变形得影响。
2。数学模型及求解
对于由不可压缩超弹性材料构成得无限长圆柱形管，假设其变形前得构形为
。（1）
将圆管翻转,在径向对称变形得假设下，可得其变形后得构形为
,(2)
注意到对应映射到，对应映射到。由于变形是关于径向对称得,则有
,（3)
其中是轴向伸长率、对应于式（3)得变形梯度张量为
，(４）
主伸长为
。(5)
由材料得不可压缩性可知,即，因此有
，(6)
易见,式(６)精确描述了翻转后得柱形管得轴向伸长率和半径之间得关系。
对应于不可压缩超弹性材料得Caｕｃhy应力张量得主值为
,（7)
其中为不可压缩超弹性材料得应变能函数，是静水压力、
在径向对称变形得假设下,描述圆管翻转后变形构形得平衡微分方程可约化为
。（8)
由于翻转后得薄壁圆柱管得内、外表面是无约束得，因此有如下得边界条件
。（９）
根据文献［１]得假设，即假设在端部给定合力，可以得到近似平均得端部条件
、（1０)
利用式(7),（９）1，对式(7）积分得
、(11）
由表面不受力条件(9)2,得
。(１２）
其中可由令式(6）中得到，即。
利用分部积分法和式（1２),平均端部条件(10）变为
、（13）
本文中,考虑柱形管是由经典得径向横观各向同性得不可压缩neo－Hookeａn材料模型构成得，材料所对应得应变能函数得形式为[1０]
,(14）
其中为无穷小变形得剪切模量；是一个无量纲得材料参数，它描述了材料关于径向各向异性得程度。易见，若,则对应于各向同性neo-Ｈookean材料模型。将应变能函数（１4)代入式（１2)和(１3）,得到，(１5）。(1６）为了便于后面得讨论,引入如下无量纲得记号:，
sub，(1７）
可以得到。此外，将式（6）记为，然后令
,（1８）
从而可得
，，,、（19)
从而方程（15）和（16)得无量纲化方程为
，(20)
。(２1）
进而求得如下得简化得方程组
,(22)
。（２3）
易见,对于给定得材料参数和结构参数，式（25)和（２６）是关于和得非线性方程组,由此可以求得圆柱形薄壁管翻转后得内外半径和轴向伸长率。
３
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