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将军饮马题型总结

将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短

距离是题眼。）所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作

轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如

题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联

想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。

将军饮马最常见的三大模型

（一）两定一动型

例1：

如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是

EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．

例11题图2题图

分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是二个定点，在定直线的同旁，点P

是这条直线上的一个动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线

作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，

连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构

造直角三角形，利用勾股定理解决．

变式：1.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E

在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个

最小值为_______．

2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4．P为矩形ABCD内一点，若矩形

ABCD面积为△PBC面积的4倍，则点P到B,C两点距离之和PB+PC的最小

值为________．

（二）一定两动型

例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝4，P为AD上

任意一点，E为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．

分析：

这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于

△ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的

对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但

此时还不是最短，根据“垂线段最短”只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE

时，用面积法即可．

变式练习.如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB

＝8，△ABC的面积为20，求EF＋CF的最小值________．

（三）两定两动型

例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB

上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.（自己规范作图、解答）

分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮

马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称

点，点D关于OA的对称点。

变式：如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距

CD边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球

E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．

小结：

以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两

定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两

点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三

角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有

时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．

拓展练习

1.P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长

最小时，∠MPN＝80°（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN

1题图2题图

2.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、

DE上分别找一点M