《函数的实际应用》教学设计 (1).docVIP

高中数学

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《函数的实际应用》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

问题引入

引例人口问题是当今世界各国普遍关注的问题认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（TRMalthus，1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

下表是年我国的人口数据资料：

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

师：形如的函数为指数型函数，在生产、生活中以此类函数构建模型的实例有很多（如引例）.

学生在教师的引导下审题、建模求解、检验、尝试完成此引例.

师生总结解答思路及题型特征，共同完成引例的解答：

（1）设1951~1959年的人口增长率分别为由，可得1951年的人口增长率.

同理可得，

，

，，

于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为

.

令，则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为.

根据表中的数据作出散点图并作出函数的大致图象，如图所示.

由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.

（2）将代入，

由计算器可得.

所以，如果按上表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口达到13亿.

问题导入课题，让学生熟悉数学模型的实际应用价值.

应用举例

例1某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元分别写出总成本C（单位：万元）、单位成本P单位：万元）、销售收入R（单位：万元）以及利润L（单位：万元）关于总产量x（单位：台）的函数关系式.

例2物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间t后的温度是T，则，其中表示环境温度，h称为半衰期现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到35℃，需要多少时间（结果精确到0.1）？

例3在经济学中，函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（）的收入函数为R（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差.

（1）求利润函数与边际利润函数；

（2）利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值？

师生合作探究，共同完成例1~例3的解答过程.

解总成本与总产量的关系为.

单位成本与总产量的关系为

.

销售收入与总产量的关系为.

利润与总产量的关系为，.

解由题意知

即，解得，故

当时，代入上式，得

即.

两边取对数，用计算器求得.

因此，约需要254min咖啡可降温到35℃.

解由题意知，，且.

（1），

.

（2），当时，的最大值为74120（元）.

因为是减函数，所以，当时，的最大值为2440（元）.

因此，利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值.

师：通过上述3个例题，你能总结利用函数解决实际问题的步骤吗？

生：实际问题→建立函数模型→求解数学模型→解决实际问题.

将实际问题转化为数学问题，建立函数模型，求解函数模型，从而解决实际问题，提升学生应用函数知识解决实际问题的能力.

归纳总结

建立数学模型的主要步骤：

（1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景，弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.

（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.

（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.

（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.

（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.

（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.

师生合作，归纳总结，评价完善.

学生通