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第七章非线性方程求根7.1方程求根与二分法7.2迭代法及其收敛性7.3迭代法收敛的加速方法7.4牛顿法7.5弦截法与抛物线法7.6解非线性方程组的牛顿迭代法
本章讨论非线性方程的求根问题，其中一类特殊的问题就是多项式方程的求根。方程的根又称为的零点，它使若可表示为，其中为正整数，且。当时，称为单根，若称为重根，或的重零点。若是的重零点，且充分光滑，则7.1方程求根与二分法
当为代数多项式时，根据代数基本定理可知，次方程在复数域有且只有个根，因此可利用迭代法求代数方程的根。二分法若，且，根据连续函数性质可知在内至少有一个实根，此时称为方程若可表示为，其中为正整数，且。当时，称为单根，若称为重根，或的重零点。若是的重零点，且充分光滑，则7.1方程求根与二分法
7.1方程求根与二分法当为代数多项式时，根据代数基本定理可知，次方程在复数域有且只有个根，因此可利用迭代法求代数方程的根。二分法若，且，根据连续函数性质可知在内至少有一个实根，此时称为方程的有根区间。例：求方程的有根区间。解：通过计算部分点的函数值，得到如下结果：由此得到方程的有根区间为：。0123456的符号－－＋＋－－＋
7.1方程求根与二分法二分算法设已找到有根区间，满足，且在上只有一个零点，步骤如下：(1)先设对于一般的区间，设其中点为：(2)检验的符号，若与同号，就取，的有根区间。例：求方程的有根区间。解：通过计算部分点的函数值，得到如下结果：由此得到方程的有根区间为：。0123456的符号－－＋＋－－＋
7.1方程求根与二分法二分算法设已找到有根区间，满足，且在上只有一个零点，步骤如下：(1)先设对于一般的区间，设其中点为：(2)检验的符号，若与同号，就取，否则取这样必有所以就是新的有根区间，继续此过程，即可得到结果。算法：(1)令(2)若或，则输出，结束(3)若，则令，否则令(4)转向1)
7.1方程求根与二分法这样，我们得到了一个序列，为确定的收敛性我们有如下的定理：定理：设则二分算法产生的序列满足其中为方程的根。证明：因为由对分得到，所以对否则取这样必有所以就是新的有根区间，继续此过程，即可得到结果。算法：(1)令(2)若或，则输出，结束(3)若，则令，否则令(4)转向1)
7.1方程求根与二分法这样，我们得到了一个序列，为确定的收敛性我们有如
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