高考微专题之：不动点与稳定点模型（24页）.docx

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函数不动点与稳定点模型

一、不动点:已知函数,若存在,使得，则称为函数的不动点.

不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标.

当然,这个方程组根据函数的不同，可能有多解.

（1）代数意义：若方程有实数根，则有不动点.

（2）几何意义：若函数与有交点，则为的不动点.

命题1若，是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.

证明因为是的不动点，所以，所以.由得.

所以是公比为的等比数列.

命题2设，且只有两个相同的不动点，如果满足递推关系，初值条件，则.（这里）

证明由得，整理得.

所以，，所以

.

所以

.

令，则.

命题3设，满足递推关系，初值条件，若有两个相异的不动点，，则.（这里）

证明因为，是不动点，

所以，

所以

.

令，则.

命题2、命题3的另一种证明方法：

（1）推理

当数列递归方程满足，

若令，，

根据不动点定义，

即，

可列出方程，整理得.①

当判别式时，该数列具有一个不动点；

当判别式时，该数列具有两个不动点，.

两种情况均满足数列特征方程

.②

（2）验证

将递归方程变形为，

对比②式系数得.

消去未知量，，推出等式，

即特征方程①，证毕.

命题4设函数有两个不同的不动点，，且由确定数列，那么当且仅当，时，.此时.

知识延伸：利用函数不动点构造桥函数求数列的通项公式.

定义2已知函数，记，，，则称为函数的次迭代.

定义3已知函数和，若存在可逆函数（存在反函数），满足，则函数和互为相似函数，其中称为桥函数.

说明（1）若，则且.

（2）若的不动点为，则为函数的不动点.

对于数列：已知首项，及递推公式，，则数列的通项公式即为.若能求出，则数列的通项公式即可很容易求出.而求关键是需要找到合适的桥函数，使得与相似的函数能比较简单（常为一次函数或反比例函数），从而求，再由求.而由说明（2）又启发我们可以利用函数的不动点去构造桥函数.

桥函数的使用：已知数列满足：，，，求数列的通项公式.

解令，则的不动点为，，

构造桥函数，则，

令,

又，则

,

所以数列的通项公式为,

说明（，，，为常数），则，其中是的不动点.

最后我们来研究关于数列的周期性问题：

对于方程；

（1）若，则数列无周期.

（2）若，则数列有周期的充要条件是，且周期.

（3）若，则数列有周期的充要条件是（其中，为方程的两根.，），且周期.

证明：（1）当时，方程的两根.

因为，

.

对于，，显然,

所以，故数列无周期.

（2）若，则两根，

因为，

，

所以数列有周期的充要条件是，

，

即.

所以，但，

所以，，

注意到方程，，

故.

反之，若，

则，（其中）

所以，

即①，

自然也有②，

①②得，，于是，

说明数列的奇数项、偶数项分别相同，故数列有周期.

（3）若，则.

由于，

故可设.

则为1的一个次方根，.

反之，若是周期为的周期数列，则必有.

于是.

二、稳定点:已知函数,若存在，使得，则称为函数的稳定点。

很显然,若为函数的不动点，则必为函数的稳定点。

证明是非常简单的！因为,所以,即,故也是函数的稳定点。

反之，有没有不是不动点的稳定点呢?答案是肯定的！

例如1:设,令,解得

故函数有一个稳定点

例如2:,令,因为不动点必为稳定点,所以该方程一定有两解，由此因式分解，可得

还有另外两解,故函数的稳定点有其中是稳定点,但不是不动点。

请看下面四个图形,分别对应例1、2、3、4.

由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.

若函数单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。

证明：若函数有不动点，显然它也有稳定点;

若函数有稳定点,即,设,则，

即和都在函数的图象上,

假设,因为是增函数，则,即,与假设矛盾;

假设,因为是增函数，则,即,与假设矛盾;

故,即有不动点.

例1.函数,且没有实数根,问:是否有实数根?证明你的结论.

解法一：（没有实根问题转化为证明不等式恒成立）

是没有实数根.

证明：因为没有实数根,所以,或,

当时，再以代有,所以,

当时，再以代有,所以,

所以是没有实数根.

解法二：（用反证法)

是没有实数根.

证明:

若存在使得,

令,则,

即有和是的点,显然这两点关于对称,

所以与