2025年高考数学重点题型归纳精讲精练8.8圆锥曲线中定点模型（精练）（解析版）.docx

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8.8圆锥曲线中定点模型

【题型解读】

【题型一直线过定点模型】

1.（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的焦距为2eq\r(3)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).

(1)求椭圆方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x＝eq\f(1,2)上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N.

【解析】(1)椭圆过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))，即eq\f(3,a2)＋eq\f(1,4b2)＝1，

又2c＝2eq\r(3)，得a2＝b2＋3，

所以a2＝4，b2＝1，即椭圆方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.

(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋m，))

得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

Δ＝16(4k2－m2＋1)0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－eq\f(8km,1＋4k2)，

设AB的中点M为(x0，y0)，

得x0＝－eq\f(4km,1＋4k2)＝eq\f(1,2)，

即1＋4k2＝－8km，

所以y0＝kx0＋m＝eq\f(1,2)k－eq\f(1＋4k2,8k)＝－eq\f(1,8k).

所以AB的中垂线方程为y＋eq\f(1,8k)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，

即y＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,8)))，

故AB的中垂线恒过点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，0)).

2.（2024·福建高三期末）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率是eq\f(\r(2),2)，A1，A2分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点．点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足eq\f(1,|A1D|)＋eq\f(1,|A2D|)＝eq\f(1,|FD|)＝2．

(1)求椭圆C的方程以及点D的坐标；

(2)过点D作x轴的垂线n，再作直线l：y＝kx＋m，与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q．求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

【解析】(1)A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)，设D(x，0)，

由eq\f(1,|A1D|)＋eq\f(1,|A2D|)＝2，有eq\f(1,x＋a)＋eq\f(1,x－a)＝2，又|FD|＝1，∴x－c＝1，x＝c＋1，

于是eq\f(1,c＋1＋a)＋eq\f(1,c＋1－a)＝2，∵e＝eq\f(\r(2),2)．∴a＝eq\r(2)c，代入c＋1＝(c＋1＋a)(c＋1－a)，解得c＝1，

a2＝2，b2＝1，椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1，且D(2，0)．

(2)∵Q(2，2k＋m)，设P(x0，y0)，联立由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,eq\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

由Δ＝0，得m2＝2k2＋1，∴2x0＝eq\f(－4km,1＋2k2)，即x0＝eq\f(－2km,1＋2k2)，∴y0＝kx0＋m＝－eq\f(2k2,m)＋m＝eq\f(1,m)，即P(－eq\f(2k,m)，eq\f(1,m))，

设以PQ为直径的圆上任一点M(x，y)，由eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝0，

得(x＋eq\f(2k,m))(x－2)＋(y－eq\f(1,m))(y－(2k＋m))＝0，

整理得x2＋y2＋(eq\f(2k,m)－2)x＋(2k＋m＋eq\f(1,m))y＋(1－eq\f(2k,m))＝0，

由对称性知定点在x轴上，令y＝0，取x＝1时满足上式，故定点为(1，0)．

3.（2024·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左?右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.

【解析】（1）