2025年高考数学重点题型归纳精讲精练8.6双曲线方程及其性质（精讲）（解析版）.docx

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8.6双曲线方程及其性质

【题型解读】

【知识必备】

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

2．双曲线的标准方程和简单几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)

图形

性质

焦点

F1(－c，0)，F2(c，0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝2c

范围

x≤－a或x≥a，y∈R

y≤－a或y≥a，x∈R

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

轴

实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b

离心率

e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)

渐近线

y＝±eq\f(b,a)x

y＝±eq\f(a,b)x

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2(ca0，cb0)

必备结论

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a).

(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.

(5)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．

【题型精讲】

【题型一双曲线的定义及应用】

例1（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，.双曲线上有一点，若，则______.

【答案】1或13

【解析】因为双曲线：，

所以a=3，

所以，

又因为，

所以或，

故答案为：1或13.

例2（2024·福建高三期末）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()

A．x2－eq\f(y2,8)＝1

B.eq\f(x2,8)－y2＝1

C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)

D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)

【答案】C

【解析】设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，

得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，

|MC2|－|MC1|＝26，

所以点M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，

且2a＝2，a＝1，又c＝3，

则b2＝c2－a2＝8，

所以点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．

例3（2024·全国·高三专题练习）（多选题）若曲线C的方程为，则（????）

A．当时，曲线C表示椭圆，离心率为

B．当时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为

C．当时，曲线C表示圆，半径为1

D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4

【答案】BC

【解析】选项A，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则，离心率为，A错；

选项B，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B正确；

选项C，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C正确；

选项D，曲线C表示椭圆时，或，

时，，，，

时，，，，

所以，即，无最大值．D错．

故选：BC．

例4（2024·河南高三高三模拟）已知双曲线：的左?右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（）

A．25 B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，故，如图所示，

则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为，

∴，即，当且仅当时，等号成立，

而到渐近线的距离，又，故，

∴，即面积的最大值为.

故选：B.

【跟踪精练】

1.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（）

A．16 B．24 C．36 D．40

【答案】C

【解析】因为双曲线为，所以；

由双曲线的定义得，

所以，

所以周长为，

故选：C.

2.(2024·深圳模拟)“”是“为双曲线”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为方程表示双曲线，所以