2025年高考数学重点题型归纳精讲精练7.6空间几何体中垂直的判定与性质（精练）（解析版） .docx

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7.6空间几何体中垂直的判定和性质

【题型解读】

【题型一线面垂直的判定】

1.（2024·陕西安康·高三期末）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：

(1)平面PDC；

(2)PB⊥平面DEF.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.

∵M，F分别是PC，PB的中点，

∴，.

∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，

∴，，

∴，，

∴四边形DEFM为平行四边形.

∴，

∵平面PDC，平面PDC.

∴平面PDC.

(2)∵四边形ABCD为正方形，∴.

又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，

∴AD⊥平面PAB.

∵平面PAB，∴.

连接AF，∵，F为PB中点，∴.

又，AD，平面DEF，

∴PB⊥平面DEF.

2.（2024·江苏南通市高三模拟）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.

【答案】证明见解析

【解析】证明：图1中，在中，所以.所以

也是直角三角形，

，

在图2中，所以平面.

3.（2024·陕西高三模拟）如图，在直三棱柱中，为的中点，证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】∵为的中点，∴，

∵直三棱柱中，面面，面，面面，

∴面，又面，即，

由题设易知：，故，又，

∴，则，又，∴平面.

4.（2024·海原县高三模拟）如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】因为，所以，

又因为平面，平面，所以，

又，所以平面，所以，

又因为，，

所以，所以，

又，所以平面；

5.（2024·山西·太原五中高一阶段练习）如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形，求证：平面

【答案】证明见解析

【解析】因为四边形为平行四边形，所以．

因为平面，所以平面，所以．

因为是以为直径的圆上的圆周角，所以，

因为，，平面，

所以平面．

【题型二面面垂直的判定】

1.（2024·全国高三模拟）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．

(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；

(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.

（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，则平面，即是与平面所成的角，有，解得，即有，则，即，而，则有平面，又平面，于是得，因，平面，则平面，平面，所以平面平面.

2.（2024·河北衡水中学高三模拟）在四棱锥中，底面是正方形，若，证明：平面平面

【答案】证明见解析

【解析】取的中点为，连接.

因为，，则，

而，故.

在正方形中，因为，故，故，

因为，故，故为直角三角形且，

因为，故平面，

因为平面，故平面平面.

3.（2024·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且，求证：平面平面；

【答案】证明见解析

【解析】∵在正三棱柱中，平面，平面，∴.

∵是棱的中点，为正三角形，∴.

∵，∴平面.

∵平面∴.

又∵，，，∴，，

∴，∴，∴，

∴，∴，∴.

又∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

4.（2024·全国高三模拟）已知正三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置（如图2），且使与底面成角，连接，，求证：平面⊥平面

【答案】证明见解析

【解析】折叠前，在图1中，，，，

由余弦定理可得，

所以，，则，

折叠后，在图2中，对应地有，，

，平面，

平面，因此，平面⊥平面；

【题型三线线垂直的判定】

1.（2024·江西高三模拟）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：

【答案】证明见解析；

【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，

又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，

又，所以平面，又平面，所以.

2.（2024·重庆八中高三阶段练习）在四棱锥中，底面．证明：

【答案】证明见解析；

【解析】证明：在四边形中，作于，于，

因为，

所以四边形为等腰梯形，

所以，

故，，

所以，

所以，

因为平面，平面，

所以，

又，

所以平面，

又因为平面，

所以；

3．（2024·全国·高三专题练习）如图