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例1.求由摆线
1
与圆
所围图形的面积.
解:利用对称性,
2
所围图形面积.
解:利用对称性,
3
答案:
二、体积
有
有
例2计算由椭圆
转而成的椭球体的体积.
解:方法1利用直角坐标方程
方法2利用椭圆参数方程
例5.计算摆线
所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.
解:绕x轴旋转而成的体积为
绕y轴旋转而成的体积为
(利用“偶倍奇零”)
分部积分
6
1
说明:
7
1
偶函数
奇函数
证明:
1
2
例8.设平面图形A由
图形A绕直线x＝2旋转一周所得旋转体的体积.
提示：选x为积分变量.
旋转体的体积为
若选为积分变量则
y,
2
2
设平面光滑曲线
取侧面积元素:
3
2
注意:
不是薄片侧面积△S的
若光滑曲线由参数方程
则它绕轴旋转一周所得旋转体的
x
4
侧2面积为
例9.计算圆
解:对曲线弧
例10.求由星形线
一周所得的旋转体的表面积S.
解:利用对称性
6
2
星形
线
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
大圆半径
R＝a
小圆半径
7
2
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作业
习题九（P199）
6；9；12；13；15；
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