2025年高考数学重点题型归纳精讲精练9.1统计图表及数据特征（精讲）（解析版）.docx

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9.1统计图表及数据特征

【题型解读】

【知识必备】

1．简单随机抽样

抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．

2．分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．

3．统计图表

(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．

(2)作频率分布直方图的步骤

①求极差；

②决定组距与组数；

③将数据分组；

④列频率分布表；

⑤画频率分布直方图．

4．百分位数

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

5．平均数、中位数和众数

(1)平均数：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．

(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．

6．方差和标准差

(1)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.

(2)标准差：s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)?2).

7．总体(样本)方差和总体(样本)标准差

(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq\x\to(Y)，则总体方差S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2.

(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.

常用结论

巧用三个有关的结论

(1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；

(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；

(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

【题型精讲】

【题型一抽样方法】

必备技巧

(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．

(2)在分层随机抽样中，抽样比＝eq\f(样本容量,总体容量)＝eq\f(各层样本容量,各层个体总量).

(3)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为eq\x\to(x)；第二层的样本量为n，平均值为eq\x\to(y)，则样本的平均值为eq\f(m\x\to(x)＋n\x\to(y),m＋n).

例1（2024·全国·高三专题练习）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：

若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（）

A．10 B．09 C．71 D．20

【答案】B

【解析】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B

例2（2024·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）某校为了了解高三学生平时的体育锻炼情况，从高三年级1045名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从1045人中剔除45人，再按系统抽样方法从剩下的1000人中抽取50人，则在这1045人中，每个人被抽取的可能性（）

A．都相等，且为 B．不全相等

C．都相等，且为 D．都不相等

【答案】C

【解析】由随机抽样的特性知，每个个体不被剔除的概率，

从剩下的1000人中抽取50人，每个个体被抽到的概率，

所以在这1045人中，每个人被抽取的可能性为.

故选：C

【跟踪精练】

1.（2024·青岛高三月考）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,