2025年高考数学重点题型归纳精讲精练4.9三角形中的最值、范围问题（新高考地区）（解析版）.docx

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4.9三角形中的最值、范围问题

【题型解读】

【题型一与角有关的最值、范围问题】

1.（2024·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinC＝(a＋b)(sinB－sinA)，则当角C取得最大值时，B＝（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．

又cosC＝＝≥＝.

当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cosC取到最小值，从而角C取到最大值.

当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．

所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π．

故选：.

2.（2024·全国·高三专题练习）在?ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c.已知acosB-bsinB=c.

（1）若B=30°，求A.（2）求sinA+sinB的取值范围.

【答案】（1）A=120°（2）1,

【解析】（1）由正弦定理得：sinAcosB-sin

∵sinC=sin

∴sinAcosB-

即sinAcosB-

∴cosAsinB=-sin2B，∵sin

∵0A180°，∴A=120°

（2）由（1）得cosA=-sinB

∴sin

又cosA=-sinB=cos90°+B，∴

∵A+B180°，∴90°A135°，∴45°A-45°90°，

∴22sinA-45°1

则sinA+sinB的取值范围是

3．（2024·全国高三单元测试）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．

【答案】

【解析】因为，

所以.

因为,所以.

所以

因为，所以，所以，

所以，所以.

即的最大值为.

故答案为：.

4．（2024·合肥百花中学高三期末）在中，，若，则的最大值是____________．

【答案】

【解析】解：因为，

所以，由余弦定理得，得，

由余弦定理可得

当且仅当,即时取等号,此时取得最小值，

根据余弦函数在上单调递减可知，此时角取得最大值为???

所以的最大值是

故答案为:

5．（2024·全国高三课时练习）在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，?ABC的面积记为S?ABC

a2

（1）求∠C

（2）若c=3，求2a-4sinB

【答案】（1）C=π3（2

【解析】（1）∵a2

∴2abcosC=433

由C为三角形内角得C=π

（2）由正弦定理得asin

∴a=2sinA，∴2a-4sinB=4sinA-4sinB=4sinA-4sin

由0A2π3得

∴-32sin

故2a-4sinB的取值范围-23

6．（2024·山东潍坊高三期末）已知锐角?ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b

（1）求角A的大小；（2）求sinB?cosC的取值范围

【答案】（1）A=π6（2

【解析】（1）∵b2

结合余弦定理，可得：cosA=

∴cosA=32

又∵0Aπ，∴A=

（2）因为A+B+C=π，A=π6，所以B+C=5π6

所以sin

=3

=1

∵?ABC时候锐角三角形，∴05π6

∴C∈π3,π2，∴

∴12sin2C+π

【题型二与边有关的最值、范围问题】

1.（2024·广西河池·高三期末）在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（???????）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】依题意，所以，

设，则

，

化简得，

当且仅当时等号成立.

故选：A

2.（2024·山东青岛·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是(???????)

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵角A，B，C成等差数列，∴，

∵，∴，∴.

根据正弦定理得：

＝

，

∵，∴，∴，∴.

故选：A.

3．（2024·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．

（1）若，求c的值；

（2）求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．

又，∴．

由正弦定理，得，即．

由余弦定理，得，

即，解得．

（2）由正弦定理，得，

∴，．

∴

．

由，得．

所以当时，即时，．

4．（2024·甘肃兰州·高三期中）在中，若，，则的最大值为（???????）

A．7 B． C． D．

【答案】B

【解析】设，由正弦定理知，因此

，

故

，其中，

所以当时，，取得最大值，且最大值为，

故选：B.

5.（2024·四川资阳市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别