【人教版高中数学精讲精练必修一】1.3 集合的基本运算（精讲）（解析版）.docx

1.3集合的基本运算（精讲）

一．并集

1.自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.

2.符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.

3.图形语言：如图所示.

4.运算性质：A∪B＝B∪A，A?A∪B，B?A∪B，A∪A＝A，A∪?＝?∪A＝A.

如果A?B，则A∪B＝B，反之也成立.

5.概念理解

并集中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：

“x∈A但x?B”，“x∈B但x?A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示：

二．交集

1.自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集.

2.符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.

3.图形语言：如图所示.

4.运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B?A，A∩B?B，A∩A＝A，A∩?＝?∩A＝?.如果A?B，则A∩B＝A，反之也成立.

5.概念理解

（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.

（2）两个集合若没有公共元素，则二者的交集为?.

三．全集、补集的概念

1.全集

①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.

②记法：全集通常记作U.

2.补集

（1）文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA

（2）符号语言：?UA＝{x|x∈U，且x?A}

（3）图形语言

(4)符号?UA有三层意思：

①A是U的子集，即A?U；

②?UA表示一个集合，且(?UA)?U；

③?UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．

一．求集合并集的两种方法

1.定义法：对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性．

2.数形结合法：对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证．

二．求两个集合的交集的方法

1.对于元素个数有限的集合，可逐个挑出两个集合的相同元素，但要注意集合中元素的互异性．

2.对于元素个数无限的集合，可借助数轴求交集，两集合的交集对应的是表示两集合的相应图形所覆盖的公共区域．

3.求集合A∩B的常见类型

(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.

(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.

(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.

三．求补集的方法

1.列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.

2.由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.

四．利用集合交集、并集的性质

1.依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.

2.关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解.

3.求解与不等式有关的集合问题的方法

解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.

4.要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：

交集元素仔细找，属于A且属于B；

并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；

全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．

考点一并集

【例1-1】（2023浙江省宁波市）已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以.故选：D

【例1-2】（2022秋·江西景德镇）集合，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，，所以.故选：B.

【一隅三反】

1．（2023春·广西）已知集合，，则中的元素个数为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】由题设，所以，故其中元素共有4个．故选：B

2．（2023·安徽）设集合，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】集合，，则故选：D.

3．（2023·辽宁大连）已知集合，满足，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而说明中元素都在集合中，故.故选：B.

考点二交集

【例2-1】（2023云南省）设集合，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得：.故选：A

【例2-