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2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义

专题17最小公倍数

知识精讲

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专题简析：

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]=a×b。

两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：

最大公约数×最小公倍数=两数的乘积

即（a、b）×[a、b]=a×b

要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。

最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。

典例分析

典例分析

【典例分析01】两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？

【思路引导】根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。根据题意：

当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2=20，15×3=45。所以，这两个数是15和90或者30和45。

【典例分析02】两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？

【思路引导】

我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷120=3。又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。

【典例分析03】例题2有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？

【思路引导】根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。

【典例分析04】从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？

【思路引导】从学校到少年宫的这段路长50×（37－1）=1800米，从路的一端开始，是50和60的公倍数处的那一根就不必移动。因为50和60的最小公倍数是300，所以，从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800÷300=6，就是6根不必移动。去掉最后一根，中途共有5根不必移动。

【典例分析05】在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

【思路引导】因为10、12和15的最小公倍数是60，所以，设这根木棍长60厘米。三种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是60÷10=厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4厘米。因为5和6的最小公倍数是30，所以红黄两种标记重复的地方有60÷30－1=1处，另两种情况分别有2处和4处。因此，木棍总共被锯成（10＋12＋15－2）－1－2－4=28段。

真题演练

真题演练

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）（2022春?临朐县期中）两个相邻自然数的最小公倍数是56，这两个自然数的和是（）

A．72 B．15 C．16 D．17

2．（2分）（2022春?福州期末）小丽的爸爸每上班3天休息1天，妈妈每上班4天休息1天。2022年2月18日他们同时在家休息，那么他们下一次同时在家休息是（）。

A．3月1日 B．3月10日 C．3月2日 D．3月9日

3．（2分）（2022春?西安期末）一张长90厘米，宽75厘米的长方形纸，要把它裁成同样大小的正方形，边长为整厘米，且没有剩余，至少可以裁成（）个这样的正方形。

A．24 B．25 C．30 D．36

4．（2分）（2022春?贵阳期中）两个相邻自然数的最小公倍数是72，这两个自然数的和是（）

A．72 B．15 C．17

5．（2分）（2022春?梁山县期末）疫情期间，五（3）班的王老师给学生准备了