【人教版高中数学精讲精练必修一】5.1 任意角与弧度制（精讲）（原卷版）.docx

5.1任意角与弧度制（精讲）

一．任意角

1．角的定义及分类

(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．

(2)角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.

(3)角的分类

名称

定义

图示

正角

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角

负角

一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角

零角

一条射线没有做任何旋转形成的角

二．象限角与终边相同的角

1.象限角与终边相同的角

象限角

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限

终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和

k有三层含义

①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角．

②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．

③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动．

2．象限角的集合表示

象限角

象限角α的集合表示

第一象限角

{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}

第二象限角

{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}

第三象限角

{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}

第四象限角

{α|k·360°＋270°αk·360°＋360°，k∈Z}

3．轴线角的集合表示

角α终边的位置

角α的集合表示

在x轴的非负半轴上

{α|α＝k·360°，k∈Z}

在x轴的非正半轴上

{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}

在y轴的非负半轴上

{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}

在y轴的非正半轴上

{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}

在x轴上

{α|α＝k·180°，k∈Z}

在y轴上

{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

在坐标轴上

{α|α＝k·90°，k∈Z}

三．度量角的两种单位制

1.定义

角度制

定义

用度作为单位来度量角的单位制

1度的角

周角的eq\f(1,360)为1度的角，记作1°

弧度制

定义

以弧度为单位来度量角的单位制

1弧度的角

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad

2.弧度数

(1)正角：正角的弧度数是一个正数.

(2)负角：负角的弧度数是一个负数.

(3)零角：零角的弧度数是0.

(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).

3.角度制与弧度制的换算

角度化弧度

弧度化角度

360°＝2πrad

2πrad＝360°

180°＝πrad

πrad＝180°

1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad

1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°

度数×eq\f(π,180)＝弧度数

弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数

四.扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角，则

度量单位类别

α为角度制

α为弧度制

扇形的弧长

l＝eq\f(απR,180)

l＝α·R

扇形的面积

S＝eq\f(απR2,360)

S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R2

一．表示区域角的三个步骤

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|αxβ}，其中β－α360°.

第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.

二.已知α所在象限，确定nα或eq\f(α,n)所在象限

(1)用不等式表示α的范围，再确定nα或eq\f(α,n)的范围，再判断角所在象限；

(2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限.

三．角度与弧度互化

在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq\f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数．

角度与弧度互化的方法

考点一与任意角有关的概念辨析

【例1-1】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列选项不正确的是（????）

A．终边落在第一象限的角为锐角

B．锐角是第一