专题22容斥原理（原卷）.docx

2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义

专题22容斥原理

知识精讲

知识精讲

专题简析：

集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。

在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。有些语

言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。

典例分析

典例分析

【典例分析01】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？

【思路引导】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48

人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。

【典例分析02】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？

【思路引导】把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。

【典例分析03】学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？

【思路引导】两个小组都参加的有25人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是84＋86－25=144人，所以，这两个小组都不参加的人数是250－144=106人。

【典例分析04】实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？

【思路引导】由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16＋12－20）÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20=24人。

【典例分析05】在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？

【思路引导】显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－20=55人。

真题演练

真题演练

一．选择题（共7小题，满分14分，每小题2分）

1．（2分）（2021春?灵台县期末）学校开设两个兴趣小组，三（3）班42人都报名参加了活动，其中27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（）

A．7人 B．8人 C．9人 D．10人

2．（2分）（2022秋?徽县期末）三年级同学参加跳绳比赛（如图），参加这两个项目的一共有多少人？下面解答正确的是（）

A．25+42 B．25+42+6 C．25+42﹣6

3．（2分）（2022秋?吉首市期末）同学们去动物园参观，每人至少参观了大象馆和猴子馆中的一个馆，参观大象馆的有10人，参观猴子馆的有15人，两个馆都参观的有6人。一共有（）人去动物园参观。

A．25 B．19 C．31

4．（2分）（2022春?裕华区期末）五（1）班有18名学生喜欢踢足球，22名学生喜欢乒乓球，其中有5人既喜欢踢足球又喜欢打乒乓球，有6人既不喜欢踢足球又不喜欢打乒乓球，五（1）班一共有（）名学生。

A．41 B．40 C．45

5．（2分）（2022春?栾城区期末）光明小学五年级一班有49名同学。学校组织同学报名参加活动，参加音乐活动的有36人，参加美术活动的有31人，两种活动都参加的有25人，也有同学两种活动都没有参加，都没有参加的同学有（）人。

A．42 B．5 C．7

6．（2分）（2