专题11抓不变量解题（分数的基本性质）（解析）.docxVIP

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义

专题11抓不变量解题（分数的基本性质）

知识精讲

知识精讲

一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

典例分析

典例分析

【典例分析01】将EQ\F(43,61)的分子与分母同时加上某数后得EQ\F(7,9)，求所加的这个数。

解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的EQ\F(7,9)，由此可求出新分数的分子和分母。”

分母：（61-43）÷（1－EQ\F(7,9)）＝81

分子：81×EQ\F(7,9)＝63

81-61＝20或63-43＝20

解法二：EQ\F(43,61)的分母比分子多18，EQ\F(7,9)的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将EQ\F(7,9)的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。

EQ\F(7,9)的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）

约分后所得的EQ\F(7,9)在约分前是：EQ\F(7,9)＝EQ\F(7×9,9×9)＝EQ\F(63,81)

所加的数是81-61＝20

答：所加的数是20。

【典例分析02】将一个分数的分母减去2得EQ\F(4,5)，如果将它的分母加上1，则得EQ\F(2,3)，求这个分数。

解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2

得EQ\F(4,5)”可知，分母比分子的EQ\F(5,4)倍还多2。由“分母加1得EQ\F(2,3)”可知，分母比分子的EQ\F(3,2)倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。

分子：（2+1）÷（EQ\F(3,2)－EQ\F(5,4)）=12

分母：12×EQ\F(3,2)-1＝17

解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。

将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。EQ\F(2,3)＝EQ\F(4,6)＝EQ\F(12,18)，EQ\F(4,5)＝EQ\F(12,15)

原分数的分母是：

18-1＝17或15+2＝17

答：这个分数为EQ\F(12,17)。

【典例分析03】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于EQ\F(5,7)。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于EQ\F(1,2)，求原来的最简分数是多少。

解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即EQ\F(5,7)=EQ\F(10,14)，

EQ\F(1,2)=EQ\F(7,14)。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想EQ\F(10,14)和EQ\F(7,14)的分子和分母再乘以2。所以

EQ\F(5,7)＝EQ\F(10,14)＝EQ\F(20,28)，EQ\F(1,2)＝EQ\F(7,14)＝EQ\F(14,28)

故原来的最简分数是EQ\F(17,28)。

解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以

（EQ\F(5,7)+EQ\F(1,2)）÷2＝EQ\F(17,28)

答：原来的最简分数是EQ\F(17,28)。

【典例分析04】将一个分数的分母加3得EQ\F(7,9)，分母加5得EQ\F(3,4)。原分数是多少？

解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将EQ\F(21,27)和EQ\F(21,28)的分子和分母再同乘以2。则EQ\F(7,9)＝EQ\F(21,27)＝EQ\F(42,54)，EQ\F(3,4)＝EQ\F(21,28)＝EQ\F(42,56)。所以，原分数的分母是（54－3＝）51

。原分数是EQ\F(42,51)。

解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单