5.3 函数的单调性【导学案教师版】.docVIP

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第5章 函数概念与性质

第03讲函数的单调性

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课程标准

重难点

1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性；

2.理解单调性的作用和实际意义；

3.会利用定义证明函数的单调性；

4.理解并掌握函数单调性的简单应用.

1．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．

2.会求一些具体函数的单调区间

知识精讲

知识精讲

一、函数的单调性

1.增函数与减函数

2.函数的单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.

【思考1】x1，x2∈D，若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]0或0，则y＝f(x)在某个区间D上是增函数吗？

【思考2】函数y＝在定义域上是减函数吗？

【特别提醒】

函数的单调性定义中的x1，x2有以下3个特征：

(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；

(2)有大小，通常规定x1x2；

(3)属于同一个单调区间．

二、函数最大值与最小值

最大值

最小值

条件

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：?x∈I，都有

f(x)M

f(x)M

?x0∈I，使得f(x0)M

结论

M是函数y＝f(x)的最大值

M是函数y＝f(x)的最小值

几何意义

f(x)图象上最高点的

f(x)图象上最低点的

【思考1】若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？

【思考2】若函数y＝f(x)在区间[a，b]上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？

【特别提醒】函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系

(1)对一个函数来说，一定有值域，但不一定有最值，如函数y＝eq\f(1,x).如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．

(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．

一、2.单调递增或单调递减

【思考1】若(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]0或0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)同号，即x2x1时，f(x2)f(x1)，所以f(x)在D上为增函数.

【思考2】不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．

二、=纵坐标纵坐标

【思考1】不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．

【思考2】最大值为f(b)，最小值为f(a).

能力拓展

能力拓展

考法01判断或证明函数的单调性

函数单调性的证明可以通过定义法，图像法等方法进行证明.

例1求证：函数在区间上是单调递增函数．

例1

【证明】设，且，

则．

∵，∴．∴．

又，∴．∴，即．

∴在区间上是单调递增函数．

【名师指点】利用定义证明函数单调性的步骤

【跟踪训练】利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．

【证明】?x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为－1＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，

所以＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．

所以y＝在(－1，＋∞)上是减函数．

考法02求函数的单调区间

(1)函数单调区间的两种求法

①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．

②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．

(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．

例2【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．

例2

(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.

【解析】(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．

(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．

(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝

根据解析式可作出函数的图象如