6.3 对数函数【导学案教师版】.docVIP

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第6章 幂函数、指数函数和对数函数

第03讲对数函数

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课程标准

重难点

1.理解对数函数的概念；

2.掌握对数函数的图象和性质；

3.会利用对数型函数的单调性比较大小；

4.会解对数不等式，会求对数函数的定义域．

1.了解对数函数的概念

2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点

3．对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1).

4..能够对指数大小进行比较

知识精讲

知识精讲

一、对数函数的概念

1.一般地，函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中eq\a\vs4\al(x)是自变量，函数的定义域是．

2.对数函数的解析式有何特征？

二、对数函数的图象及性质

1．对数函数的图象及性质

a的范围

0＜a＜1

a＞1

图象

性质

定义域

值域

R

定点

，即x＝eq\a\vs4\al(1)时，y＝eq\a\vs4\al(0)

单调性

在(0，＋∞)上是

在(0，＋∞)上是

2．反函数

指数函数y＝ax(a0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．两者的和正好互换．

3.底数a的取值与对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象有什么关系？

4.对数函数y＝logax(a0且a≠1)与y＝logx(a0且a≠1)有什么关系？

eq\a\vs4\al([名师点津])

1．对数函数的图象和性质

(1)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论．

(2)对数函数图象的“记忆”

根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的草图．

(3)在对数函数y＝logax(a0，且a≠1)中，①若0＜a＜1且0＜x＜1，或a＞1且x＞1，则有y＞0；②若0＜a＜1且x＞1，或a＞1且0＜x＜1，则有y＜0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．有了这个规律，我们判断对数函数值的正负就很简单了．

2．反函数的性质

(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．

(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．

参考答案

一、1.(0，＋∞)

2.在对数函数的定义表达式y＝logax(a0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．

二、1.(0，＋∞)(1,0)减函数增函数

2.定义域值域

3.底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．

4.在同一坐标系内，y＝logax(a0且a≠1)的图象与y＝logx(a0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．

能力拓展

能力拓展

考法01对数函数的概念

判断一个函数是对数函数的方法

例1

例1

(1)y＝3log2x； (2)y＝log6x；

(3)y＝logx5; (4)y＝log2x＋1.

【解析】(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．

(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．

【跟踪训练】1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.

【答案】1

【解析】a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.

又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.

2．若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2,1)，则f(8)＝________.

【答案】3

【解析】依题意知1＝loga2，所以a＝2，

所以f(x)＝log2x，

故f(8)＝log28＝3.

考法02对数函数的定义域

求对数型函数定义域的原则

(1)分母不能为0.

(2)根指数为偶数时，被开方数非负．

(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

例2(链接教材P130例1)求下列函数的定义域：

例2

(1)y＝log5(1－x)；

(2)y＝；

(3)y＝.

【解析】(1)要使函数式有意义，需1－x0，解得x1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)．

(2)要使函数式有意义，需解得x4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(