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三角形全等的常见类型
题型01全等三角形在证明线段和角相等中的应用
【典例分析】
【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）在四边形中，，，E为的中点，连接，，．
??
（1）；（填“”“”或“”）
（2）．
【例1-2】.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BCAD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
【变式演练】
【变式1-1】.如图，在△ABC中，∠B=∠C，在边BC上顺次取点D，E，使BD=CE．作FD⊥BC，GE⊥BC，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：GB=FC．
??
【变式1-2】．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在△ABF与△DCE中，点E，F在线段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求证：∠A=∠D．
??
【变式1-3】（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：，点A、B在的边上，，点D为直线上一动点，连接，过点A作，且，作，垂足为F．
(1)当点D在线段上时，证明：；
(2)如图2，当点D在线段延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，作点E关于直线的对称点，连接、，与直线交于点H，求证：．
题型02全等三角形在证明线段的和差关系中的应用
【典例分析】
【例2-1】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于．
(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：
①；
②；
(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．
【例2-2】（23-24八年级上·河南信阳·阶段练习）已知四边形中，，点在边上，连接，．
(1)如图1，若平分，求证：；
(2)如图2，若为中点，求证：平分．
【变式演练】
【变式2-1】已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．
（1）如图①，若，，，求证；
（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【变式2-2】（2023秋?乐亭县期中）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，
（1）如图①，若，则与的数量关系为，与的数量关系为；
（2）如图②，判断并说明线段，与的数量关系；
（3）如图③，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点为线段上一动点（不与点B重合），且．
??
(1)连接交于点，设．
①当时，如图1，则______．
②当时，如图2，若，求的长．
(2)如图3，作交的延长线于点，交于点，连接，求证：．
题型03全等三角形在证明线段的倍分关系中的应用
【典例分析】
【例3】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.
??
【变式演练】
【变式3-1】如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=
【变式3-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）如图，是的角平分线，,，交其延长线于点，求证：
【变式3-3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点C．
(1)求证：；
(2)如图2，，求证：；
(3)如图3，延长交y轴于点，点N为x轴上一点，，求的度数（用含的式子表示）．
题型04全等三角形在证明线段位置关系中的应用
【典例分析】
【例4】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，，，图中、有怎样的数量与位置关系？并证明你的结论．
【变式演练】
【变式4-1】（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，F是的中点，连接并延长交于点G．
??
(1)用等式表示线段与的数量关系，并证明；
(2)写出线段与的位置关系，并证明．
【变式4-2】（22-23八年级下·江西景德镇·期中）如图在中，为锐角，点D在射线上，以为一边在右侧作正方形．
??
(1)如果，，
①当点D在线段(不含端点)上时，如图1，则线段与的位置关系是_____
②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立?并说明理由．
(2)如果，是锐角，点D在线段(不含端点)上，如图3．当满足什么条件时，？并说明理由．
【变式4-3】（23-24八年级上·广东惠州·期中）综合探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接并延长交于点P；
??
(1)求证：；
(2)求证：．
(3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，是否还与全等？那么与的位置关系是否发生变化？说
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