3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式【导学案教师版】 (1).docVIP

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第3章 不等式

第03讲从函数观点看一元二次方程与一元二次不等式

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课程标准

重难点

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解其意义；

会解一元二次不等式．

借助二次函数图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系

1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集

2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系

知

知识精讲

一、一元二次不等式

1．一元二次不等式的概念

只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．

2．一元二次不等式的一般形式

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．

(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

3．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的．

二、二次函数图象、方程及不等式的关系

设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac

判别式

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

解不等式y＞0或y＜0的步骤

求方程y＝0的解

有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)

有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有

实数根

画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象

得等的集不式解

y＞0

y＜0

三、常用数集及表示符号

1.不等式x2－y20是一元二次不等式吗？

2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x21的解集及其含义是什么？

3.若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则实数a应满足什么条件？

四、不等式解法

1．分式不等式的解法

主导思想：化分式不等式为整式不等式

类型

同解不等式

eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)

(其中a，b，c，d为常数)

法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＞0?＜0?,cx＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b＜0?＞0?,cx＋d＜0))

法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)

eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)

法一：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≥0?≤0?,ax＋d＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b≤0?≥0?,cx＋d＜0))

法二：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?ax＋b??cx＋d?≥0?≤0?,cx＋d≠0))

eq\f(ax＋b,cx＋d)＞keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k,≥k,≤k))(其中k为非零实数)

先移项通分转化为上述两种形式

2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件

不等式

ax2＋bx＋c0

ax2＋bx＋c0

a＝0

b＝0，c0

b＝0，c0

a≠0

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0,Δ0))

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0,Δ0))

(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法

设二次函数

y＝ax2＋bx＋c

若ax2＋bx＋c≤k恒成立?ymax≤k

若ax2＋bx＋c≥k恒成立?ymin≥k

一、1．一个23.解集

二、{x|x＜x1_或x＞x2}eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R{x|x1＜x＜x2}??

三、1.此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．

2.不等式x21的解集为{x|x－1或x1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．

3.结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－10的解集为R.

能力拓展

能力拓展

考法01一元二次不等式的解法

一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边

例1