《任意角的三角函数》教学设计一 (3).docVIP

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《任意角的三角函数》教学设计一

教学设计

一、创设情境，引入新知

问题1：在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？

学生回答在直角三角形中锐角三角函数的定义.

设计意图：学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，是一种推广和拓展的过程温故知新，从学生现有认知状况开始，让学生体会知识的产生、发展过程.

问题2：角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？

问题3：若将锐角放入平面直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？

留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡视，并做好启发引导.

能表示吗？怎样表示？”针对刚才的问题请学生回答用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是行不通了由于前面已经以直角坐标系为工具研究了任意角，学生般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.

设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情境，让学生产生认知冲突，再进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.

教师对学生的回答情况进行点评后布置任务：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数的定义.

学生小组合作，作图分析.

问题4：对于确定的角，这三个比值是否与点P在的终边上的位置有关？为什么？

先让学生想象思考，作出主观判断，再进行小组交流，产生思维碰撞，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角的每一个确定值，比值都是确定的，不会随点P在终边上的移动而变化（如图）.

得出结论（强调）：当为锐角时，比值随的变化而变化；但对于锐角的每一个确定值，比值都是确定的，不会随点P在终边上的移动而变化所以，三个比值分别是以角为自变量、以比值为函数值的函数.

问题5：已知角（先给一个锐角）的终边与单位圆的交点为，你能求出吗？思考求出的三角函数值与点的坐标有什么关系？能不能用图象体现出三角函数值？

让学生以小组为单位，合作解决上述问题.感受几何线段表示数值的意义，得到有向线段、有向线段的数量及三角函数线的概念.

设计意图：让学生通过自主探索、合作探究，感受三角函数值与几何图象的对应关系，通过角的象限的变化，学生会产生思维的冲突——用线段表示三角函数值不够充分，符号无法体现，从而引入有向线段的概念，水到渠成，也符合学生的最近发展区，在本环节的探究过程中，正切线的探索比较抽象，教师可以给予适当的引导.

二、类比推广，构建新知

将锐角的比值情形推广到任意角后，师生共同进行探索和推广得出任意角的三角函数定义.

一般地，对于任意角，其终边上异于原点的一点，它与原点的距离，则.

分别叫作角的正弦函数、余弦函数、正切函数以上三种函数都称为的三角函数.

由定义让学生推导出正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限内的符号（如图所示）：

通过小组合作，解决问题5，得到三角函数线的概念.

规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段.

我们分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线（如图所示）：

同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数是以实数为自变量的函数通过分析三角函数线，让学生归纳总结出三角函数的定义域：

和的定义域都为的定义域为.

教师指出：分析的定义域时必须紧扣三角函数定义，在理解的基础上记熟.

设计意图：定义域是函数的三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定义自主探索确定三角函数的定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进了对三角函数概念的掌握.

三、数学应用，巩固新知

在学生理解和掌握了三角函数的定义后，给出例题.

例1已知角的终边经过点，求的正弦值、余弦值、正切值.

分析这是教材上的例题，是定义的直接应用若已知角的终边上一点的坐标，则可直接利用定义求三角函数值.

解因为角的终边过点，所以，所以.

设计意图：学习完三角函数的定义后，马上进行加深训练，应用其解决问题，及时反馈、形成技能，以达到熟练掌握三角函数的定义的教学目标.

变式：已知角的终边经过点，求角的正弦值、余弦值、正切值.

设计意图：进一步巩固三角函数的定义，但是此题在求r的时候需要讨论t的正负，这是学生易错之处.借此锻炼学生思维的缜密性，培养学生分类讨论的思想.

例2分别为下列值时的正弦、余弦和正切值：

（1）0；（2）；（3）.

学生独立思考，如果多数学生没有思路，可以采取小组合作的方式，让学生共同寻找解决的方法.

（1）当角为0时，角的终边与单位圆的交点为，，.

（2）当角为时，角的终边与单位圆的交点为，.

（3）当角为时，角的终边与