《任意角的三角函数》教学设计二 (3).docVIP

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《任意角的三角函数》教学设计二

教学设计

一、情境导入

问题1：2018年，经吉尼斯世界纪录现场认证，位于山东渤海之滨的“渤海之眼”是世界上最高的无轴摩天轮.已知“渤海之眼”总高度约为142米，直径约为124米，转动周约需30分钟.假设摩天轮逆时针方向匀速转动，若现在你坐在座舱中，从初始位置出发（如图所示），过了5分钟后，你离地面的高度为多少？过了10分钟呢？过了t分钟呢？

设计意图：初中学生已经学习了三角的相关知识.这里借助学生生活中常见的、感兴趣的情境让学生回顾初中学习的三角函数定义，同时让学生认识到学习任意角的三角函数的必要性.

让学生自主思考如何解决问题：“过了t分钟后，你离地面的高度为多少？

分析：先作图，如图，从起始位置运动5分钟后到达P点位置，由旋转一周用时30分钟，可知旋转一分钟经过角度为12度，五分钟转过的角度为60度，即.由点P向地面作垂线，垂足为H，与OA交于点M，则米，所以离地面距离为米.

在此过程中，让学生回顾初中所学的解直角三角形的问题，即锐角的三角函数的相关知识.

问题2：初中学习的锐角的正弦函数是如何定义的？

你能用它解决问题1吗？

借助上图，学生很容易得到：

（：摩天轮中心到地面的距离）

问题3：旋转10分钟呢？这时的角是多少度？如何求高度？

旋转10分钟，旋转的角度是120°，学生很自然会想到利用120°的补角构造直角三角形，这也是可行的做法但是教师要引导学生思考，能不能用120度来解决这个问题呢？表达式中的角能不能是120度？

二、新知建构

问题4：请问t的范围是什么？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？这个表达式是否有意义？

若想做到这一点，就要把锐角的正弦推广到任意角的正弦.这就是今天学习的任意角的三角函数.

问题5：如图建立平面直角坐标系，设点，你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数（余弦、正切）？

新知建构：，

（其中）.

问题6：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？

先由学生分析回答，教师可引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质进行证明.

设计意图：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角的大小有关系.

教师给出任意角的三角函数的定义：如上图，已知点为角终边上异于原点的点，点P到原点的距离，则

.

分别叫作角的正弦函数、余弦函数、正切函数以上三种函数都称为的三角函数.

让学生回想摩天轮的模型，考虑计算高度时需要的量，总结任意角的三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到原点的距离.

问题7：当摩天轮的半径为1时，三角函数的定义会发生怎样的变化？

学生会自然得到.

问题8：请在下图的单位圆中画出能表示角三角函数值的几何图象：

教师进一步给出单位圆及有向线段的定义，并给出三角函数线的含义：如图，我们分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线.

问题9：请同学们根据三角函数线填写下列表格：

设计意图：及时归纳总结，有利于学生对所学知识的巩固和掌握.

三、数学应用

例1已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.

分析考查三角函数的定义，学生利用三角函数的定义就可以得到答案.

解因为角的终边经过点，所以，所以.

设计意图：巩固三角函数的定义，反馈学生对三角函数定义的掌握情况.

变式：已知角的终边落在直线上，求的值.

解析求角的三角函数值，必须知道角的终边上的点的坐标，此题知道终边所在直线，取点即可.

答案在直线上分别取点和点.

当角的终边过点时，，所以，.

当角的终边过点时，，所以，.

设计意图：考查学生对三角函数定义中的关键条件是否掌握.三角函数定义中的核心条件是终边上的点的坐标通过此题，让学生抓住用定义解题的关键所在.

例2求的正弦、余弦和正切值.

分析本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到原点的距离），因此解答本题的重点是如何利用单位圆找到这个点.

解如图，作出角的终边，其与单位圆的交点记为P，过P作直线PM垂直于x轴，垂足为M，则，又点P在第四象限，得到，所以.

设计意图：巩固学生学习的单位圆、三角函数的定义等知识，引出求特殊角的三角函数值的方法.

例3画出下列角的三角函数线：（1）；（2）.

分析画角的三角函数线要先画单位圆，角的终边，角的终边与单位圆的交点，然后根据三角函数线的定义画出有向线段.

解如图所示.

设计意图：三