向量的数量积.docxVIP

高一数学2022-2023

PAGE

PAGE1

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

6.2.4向量的数量积

【知识导学】

知识点一两向量的夹角与垂直

1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.

2.垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.

知识点二向量数量积的定义

非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.

知识点三投影向量

在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.

设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为

eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.

知识点四平面向量数量积的性质

设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则

(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ. (2)a⊥b?a·b＝0.

(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).

(4)|a·b|≤|a||b|.

知识点五平面向量数量积的运算律

1.a·b＝b·a(交换律).

2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).

3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

【考题透析】

透析题组一：向量的数量积的定义和几何意义

1．已知是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

2．下列命题中，不正确的是（）

A． B．

C． D．与共线

3．已知，且，则在方向上的投影为（）

A． B．1 C． D．

透析题组二：数量积的运算律

已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（）．

A． B．

C． D．

5．给出下列命题，其中错误的命题的个数是（）

①若，则是钝角②若且，则

③若，则可知④若是等边三角形，则与的夹角为

A．4 B．3C．2D．1

6．已知向量、满足，与的夹角为，则（）

A． B． C． D．、

透析题组三：数量积和模相互求解问题

7．平面内不共线的三个向量，，两两所成的角相等，且，，则（）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知，则（）

A． B． C．13 D．21

9．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值等于（）．

A． B． C． D．

透析题组四：向量夹角的计算

10．已知向量，其中，且，则与的夹角是（）

A． B． C． D．

11．已知非零向量，满足，，且，则与的夹角为（）

A． B． C． D．

12．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（）

A． B． C． D．

透析题组五：垂直关系的向量表示

13．非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（）

A． B． C． D．

14．若非零向量满足，则与的夹角为（）

A． B． C． D．

15．设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（）

A．若和确定，则唯一确定 B．若和确定，则有最大值

C．若确定，则 D．若不确定，则与的大小关系不确定

透析题型六：已知模求参数问题

16．设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

17．设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值为1．则（）

A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定

C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定

18．若，且，则k＝（）

A．－6B．6C．3D．－3

【考点同练】

一、单选题

19．已知向量，的夹角为120°，，，则在方向上的投影