1.4 两条直线的交点【同步精讲】（解析版）.docVIP

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第1章 直线与方程

第04讲两条直线的交点

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课程标准

重难点

能用解方程组的方法求两直线的交点

掌握两直线相交的条件

1.两条直线交点的求解

知识精讲

知识精讲

知识点一两条直线的交点

1．两直线的交点坐标

几何元素及关系

代数表示

点A

A(a，b)

直线l

l：Ax＋By＋C＝0

点A在直线l上

Aa＋Bb＋C＝0

直线l1与l2的交点是A

方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a,y＝b))

2．两直线的位置关系

方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解

一组

无数组

无解

直线l1与l2的公共点个数

一个

无数个

零个

直线l1与l2的位置关系

相交

重合

平行

【概念解读】两直线相交的条件

(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．

(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2，B2≠0)．

(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交?k1≠k2.

能力拓展

能力拓展

考法01求两直线的交点坐标

例1【例1】

例1

(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；

(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,2)；

(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,2).

【解析】(1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(10,3)，,y＝\f(14,3).))

所以l1与l2相交，且交点坐标为.

(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＋3＝0，①,y＝\f(1,3)x＋\f(1,2)，②))

②×6整理得2x－6y＋3＝0.

因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．

(3)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＝0，①,y＝\f(1,3)x＋\f(1,2)，②))

②×6－①得3＝0，矛盾．

方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.

【跟踪训练】

1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：

(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；

(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.

【解析】(1)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．

(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0，①,2x＋2y＋3＝0，②))①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.

【方法总结】

判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．

(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．

(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．

(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．

考法02直线过定点问题

例2求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．

例2

【解析】法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝eq\f(1,2)时，直线方程为x＝9.

两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.

故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，

即直线恒过点P(9，－4)．

法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.

若对任意m都成立，

则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs