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《抛物线》知识探究

探究点1抛物线的定义及其应用

1.抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:

(1)在平面内.

(2)动点到定点的距离与到定直线的距离相等.

(3)定点不在定直线上.

其中点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线.

2.抛物线定义的应用思路

通常把抛物线上某点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,或者把抛物线上某点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,然后根据平面几何的相关知识求解.

要点辨析

1.注意定点不在定直线上,这是动点轨迹为抛物线的必要条件,否则,若定点在定直线上,则动点轨迹为过定点且和定直线垂直的一条直线.

例如:到定点与定直线的距离相等的动点的轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.

2.抛物线的定义可归结为“一动三定”:“一动”即一个动点,设为;“三定”即一个定点、一条定直线、一个定值(即动点与定点和定直线的距离的比值为常数1).

学科素养:熟练利用抛物线定义解决抛物线标准方程问题,体现逻辑推理、数学运算的核心素养.

典例1[概括理解能力、分析计算能力]已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,抛物线上一点到焦点的距离为5,求的值、抛物线的标准方程和准线方程.

思路:思路一:设抛物线的标准方程为0),根据点在抛物线上及条件,建立方程组求解.思路二:已知,可用焦半径公式求解.

解析:方法一:∵点在抛物线上,抛物线焦点在轴上,

∴设抛物线方程为,则焦点为.

又,

故解得

∴抛物线的标准方程为,准线方程为.

方法二:如图,设抛物线方程为,

则焦点为,准线为.

由,

∴抛物线的标准方程为,准线方程为.由,得.

探究点2抛物线的标准方程和几何性质

四种不同抛物线方程的异同点:

共同点

(1)原点都在抛物线上.

(2)焦点都在坐标轴上.

(3)准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即.

不同点

(1)焦点在轴上时,方程的右端为,左端为;焦点在轴上时,方程的右端为,左端为.

(2)开口方向与轴(或轴)的正半轴相同,即焦点在轴(或轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与轴(或轴)的负半轴相同,即焦点在轴(或轴)的负半轴上,方程的右端取负号.

要点辨析

1.若已知抛物线的焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线的标准方程,求出的值即可得解.若焦点位置无法确定,则需分类讨论.特别地,已知抛物线上一点的坐标,一般能求出两个标准方程.

2.求抛物线标准方程的方法

(1)定义法:若题目已给出抛物线的方程(含有未知数,那么只需求出即可.

(2)待定系数法:若题目未给出抛物线的方程,对于焦点在轴上的抛物线的标准方程可统一设为的正负由题设来定;焦点在轴上的抛物线的标准方程可设为,这样就减少了不必要的讨论.

学科素养:熟练利用抛物线的标准方程和几何性质求标准方程,体现逻辑推理、数学运算的核心素养.

典例2[推测解释能力、分析计算能力]根据下列条件写出抛物线的标准方程.

(1)经过点;

(2)焦点为直线与坐标轴的交点.

思路:根据抛物线的标准方程的知识分析计算.

(1)设出抛物线的标准方程代入点的坐标求参数写出抛物线的标准方程;

(2)求出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置写出抛物线的标准方程.

解析:(1)∵点在第三象限,

∴设所求抛物线的标准方程为或.

若抛物线的标准方程为,则由,解得;

若抛物线的标准方程为,则由,解得.

∴所求抛物线的标准方程为或.

(2)对于直线方程,令,得,令,得,

∴抛物线的焦点坐标为或.

当焦点坐标为时,,

∴,此时抛物线的标准方程为;

当焦点坐标为时,,

∴,此时抛物线的标准方程为.

∴所求抛物线的标准方程为或.

探究点3与抛物线定义有关的最值问题

与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.

要点辨析

凡涉及抛物线上的点到定点、定直线的距离有关的最值问题时,常利用抛物线定义,将抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到准线的距离相互转化.例如若点是抛物线上的任一点,则该点到抛物线的焦点的距离为,这一公式的应用会给我们求解抛物线上的点到定点、定直线的距离有关的最值问题时带来方便.

学科素养:解决与抛物线定义有关的最值问题,体现逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养.

典例3[分析计算能力]设点是抛物线上的一个动点.求点到的距离与点到直线的距离之和的最小值.

思路:当、、三点共线时,距离之和最小,由两点间的距离公式即可得解.

解析:如图,易知抛物线的