1.5 平面上的距离【同步精讲】（解析版）.docVIP

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第1章 直线与方程

第05讲平面上的距离

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课程标准

重难点

1.探索并掌握两点间的距离公式

2.探索并掌握点到直线的距离公式.

3.会求两条平行直线间的距离.

1.点到点的距离计算

2.点到直线距离计算

3.直线与直线间的距离

知识精讲

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知识点一两点间的距离

1.两点间的距离公式公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2).

2.两点间的距离公式文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．

3.【概念解读】两点间距离公式的理解

(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.

当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.

当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝eq\r(x2＋y2).

知识点二点到直线的距离

1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度

2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))

3．点到直线的距离公式需注意的问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(k2＋1)).

4．点到几种特殊直线的距离

(1)点P0(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；

(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；

(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|；

(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.

知识点三两平行线的距离

1.两平行线间的距离定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长度

2.两平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离

d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))

2.对平行线间的距离公式的理解

(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．

(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决

①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.

能力拓展

能力拓展

考法01两点间的距离

例1已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC

例1

【证明】法一：∵|AB|＝eq\r(?5－1?2＋?3－1?2)＝2eq\r(5)，

|AC|＝eq\r(?0－1?2＋?3－1?2)＝eq\r(5)，

又|BC|＝eq\r(?5－0?2＋?3－3?2)＝5，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

∴△ABC为直角三角形．

法二：∵kAB＝eq\f(3－1,5－1)＝eq\f(1,2)，kAC＝eq\f(3－1,0－1)＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．

【跟踪训练】

1.已知点A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．

【解析】设所求点P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得eq\r(?x＋1?2＋?0－2?2)

＝eq\r(?x－2?2＋?0－\r(7)?2)，

即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.

所以，所求P点坐标为(1,0)，|PA|＝eq\r(?1＋1?2＋?0－2?2)＝2eq\r(2).

【方法总结】

1．计算两点间距离的方法

(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．

2．解答本题还要注意构成三角形的条件．

考法02点到直线的距离

例2求点P(3，－2)到下列直线的距离：

例2

(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.

【解析】(1)直线y＝eq\f(3