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江苏省无锡市育才中学2023届高三5月毕业班模拟考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数是上的偶函数,是的奇函数,且,则的值为()
A. B. C. D.
2.若满足约束条件则的最大值为()
A.10 B.8 C.5 D.3
3.已知,,分别为内角,,的对边,,,的面积为,则()
A. B.4 C.5 D.
4.已知公差不为0的等差数列的前项的和为,,且成等比数列,则()
A.56 B.72 C.88 D.40
5.若函数的图象过点,则它的一条对称轴方程可能是()
A. B. C. D.
6.已知函数,下列结论不正确的是()
A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数
C.的图像关于直线对称 D.的最大值是
7.下列函数中,值域为的偶函数是()
A. B. C. D.
8.已知向量,,且,则()
A. B. C.1 D.2
9.空气质量指数是反映空气状况的指数,指数值趋小,表明空气质量越好,下图是某市10月1日-20日指数变化趋势,下列叙述错误的是()
A.这20天中指数值的中位数略高于100
B.这20天中的中度污染及以上(指数)的天数占
C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
10.若函数在时取得极值,则()
A. B. C. D.
11.已知集合A={x|x1},B={x|},则
A. B.
C. D.
12.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,已知扇形的半径为1,面积为,则_____.
14.设,满足条件,则的最大值为__________.
15.已知函数,则曲线在处的切线斜率为________.
16.已知函数在上单调递增,则实数a值范围为_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)若关于的不等式的整数解有且仅有一个值,当时,求不等式的解集;
(2)已知,若,使得成立,求实数的取值范围.
18.(12分)已知函数()
(1)函数在点处的切线方程为,求函数的极值;
(2)当时,对于任意,当时,不等式恒成立,求出实数的取值范围.
19.(12分)已知,.
(1)当时,证明:;
(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.
20.(12分)已知抛物线和圆,倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点,且与圆相切.
(1)求的值;
(2)动点在抛物线的准线上,动点在上,若在点处的切线交轴于点,设.求证点在定直线上,并求该定直线的方程.
21.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数)和曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和曲线的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,已知点是射线与直线的公共点,点是与曲线的公共点,求的最大值.
22.(10分)已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)设A是椭圆的左顶点,过右焦点F的直线,与椭圆交于P,Q,直线AP,AQ与直线交于M,N,线段MN的中点为E.
①求证:;
②记,,的面积分别为、、,求证:为定值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于与关系,转换成关于的关系式,通过变形求解出的周期,进而算出.
【详解】
为上的奇函数,
,
而函数是上的偶函数,,
,
故为周期函数,且周期为
故选:B
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性,函数的周期性的应用,属于基础题.
2.D
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