1.3 两条直线的平行与垂直【同步精讲】（解析版）.docVIP

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第1章 直线与方程

第01讲两条直线的平行与垂直

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课程标准

重难点

1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；

2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直；

3.能应用两条直线平行或垂直进行实际应用．

1.直线的平行判断

2.直线的垂直判断

知识精讲

知识精讲

知识点一两条直线平行

1.对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2?k1＝k2.

【概念解读】对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点

(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.

(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：

l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.

【知识拓展】

类型

斜率存在

斜率不存在

前提条件

α1＝α2≠90°

α1＝α2＝90°

对应关系

l1∥l2?k1＝k2

l1∥l2?两直线斜率都不存在

图示

知识点二两直线垂直

1.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.

【概念解读】对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点

(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.

(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．

(3)判定两条直线垂直的一般结论为：

l1⊥l2?k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．

【知识拓展】

图示

对应关系

l1⊥l2(两直线斜率都存在)?k1·k2＝－1

l1的斜率不存在，l2的斜率为0?l1⊥l2

能力拓展

能力拓展

考法01直线平行的判断

例1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2

例1

(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；

(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；

(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，eq\r(3))，N(－2，－2eq\r(3))；

(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．

【解析】(1)由题意知，k1＝eq\f(5－1,－3－2)＝－eq\f(4,5)，k2＝eq\f(－7＋3,8－3)＝－eq\f(4,5)，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝eq\f(5－?－3?,－3－3)＝－eq\f(4,3)≠－eq\f(4,5)，故l1∥l2.

(2)由题意知，k1＝eq\f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq\f(3－4,2－3)＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝eq\f(4－?－1?,3－?－2?)＝1，故直线l1与直线l2重合．

(3)由题意知，k1＝tan60°＝eq\r(3)，k2＝eq\f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq\r(3)，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．

(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.

【跟踪训练】

试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行．

【解析】由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝eq\f(m－0,－5－?m＋1?)＝eq\f(m,－6－m)，kCD＝eq\f(5－3,0－?－4?)＝eq\f(1,2)，由于AB∥CD，即kAB＝kCD，所以eq\f(m,－6－m)＝eq\f(1,2)，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.

【方法总结】判断两条不重合直线是否平行的步骤

考法02两直线垂直

例2已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是()

例2

A．平行 B．垂直

C．可能重合 D．无法确定

【答案】B

【解析】由方程3x2＋mx－3＝0知，Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋360恒成立．

故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2存在，设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，故l1⊥l2，所以选B.

【即时训练】

（1）直线x＝0与直线y＝0