1.1 直线的斜率与倾斜角【同步精讲】（解析版）.docVIP

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第1章 直线与方程

第01讲直线的斜率与倾斜角

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课程标准

重难点

理解直线的斜率和倾斜角的概念；

理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；

3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．

1.倾斜角永远存在但斜率不一定

2.倾斜角与斜率的计算

知识精讲

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知识点一直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。

规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以倾斜角的范围是．

【概念解读】

1.要清楚定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.

2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

3.倾斜角的范围是.当时，直线与x轴平行或与x轴重合.

4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应.

5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.

知识点二直线的斜率

斜率的定义

1..倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

2.概念解读：当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；直线与x轴垂直时，=90°，k不存在。由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

3.直线的倾斜角与斜率之间的关系

图示

倾斜角(范围)

α＝0°

0°α90°

α＝90°

90°α180°

斜率(范围)

k＝0

k0

不存在

k0

斜率公式

1.斜率公式：已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.

【概念解读】

对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

能力拓展

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考法01直线的倾斜角

例1设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为

例1

【答案】当0°≤＜135°时，为+45°，当135°≤＜180°时，为－135°

【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当+45°∈[0°，180°），即当0°≤＜135°时，的倾斜角才是+45°，而当135°≤＜180°时，的倾斜角为－135°．故应选D．

【跟踪训练】

1.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．

【答案】60°或120°

【解析】有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.

【方法总结】

1.解答此类问题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．

2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

考法02直线的斜率

例2【例2】如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率．

例2

【解析】由图形可知，，则k1，k2可求．

直线的斜率．

∵直线的倾斜角=90°+30°=120°，

∴直线的斜率k2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=．

【跟踪训练】

2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________.

【答案】1.2

【解析】tan45°＝eq\f(2－3,1－m)，得m＝2.

3.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)．

【答案】2.0°α≤90°

【解析】当m＝1时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.当m1时，直线的斜率为k＝eq\f(yA－yB,xA－xB)＝eq\f(3－2,m－1)＝eq\f(1,m－1)，因为m1，所以k0，故直线的倾斜角的取值范围为0°α90°.综上可知，直线的倾斜角α的取值范围是0°α≤90°.

考法03三点共线

例3（2021·吉林扶余市第一中学期末）若a∈N，又三点A（a，0），B