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《等比数列等比数列的前n项和公式》教材分析

一、本节知识结构框图

二、重点、难点

重点：等比数列的定义，等比数列的通项公式、前n项和公式及它们的应用.

难点：等比数列的前n项和公式的应用.

三、教科书编写意图及教学建议

等比数列的内容与等差数列是类似的.因此，教科书对等比数列内容的编排，采用了与等差数列完全类似的研究路径和研究方法，即“通过运算探究实例中数列的共同取值规律→抽象出定义→根据定义归纳得到通项公式→一利用通项公式，探究数列与相关函数的关系→利用通项公式解决问题→一推导数列的前n项和公式→利用通项公式与前n项和公式解决问题”.所以，本节的内容为学生提供了很好的自主学习的机会，教学时可以让学生在与等差数列类比的基础上，自己发现研究对象，并针对研究对象提出研究内容、探索研究方法、获得研究结论.教学中，可侧重提醒学生注意新的研究对象的独特性.

本节的引言从研究对象的角度，回顾等差数列是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”的数列，意在引导学生从运算的角度，类比已有研究对象的主要特征，发现一个新的特殊数列作为研究对象，这样的过程有利于培养学生发现问题和提出问题的能力.

4.3.2等比数列的前n项和公式

本小节的内容、结构与“4.2.2等差数列的前n项和公式”是完全类似的，下面主要就两者的“差异”来介绍本小节的编写意图与教学建议

1.等比数列的前n项和公式的推导

本小节也用了一个有趣的故事情境来引入数列的求和问题，所不同的是，这个求国际象棋棋盘上所有麦粒总质量的情境只提供了一个求等比数列的问题背景，而没有提供算法.

等比数列的前项和公式的推导有很多方法，教科书采用的是“错位相减法”.与推导等差数列的前项和公式的“倒序相加法”类似，“错位相减法”也是一种带有技巧性但很便捷的方法，但与“倒序相加法”不同的是，“错位相减法”源于对等比数列前项的和式的观察和分析，利用了等比数列的定义，并没有利用等比数列的其他性质，因此教科书直接让学生在的两边乘以，得到，然后通过消去两式中的相同项，就得到了等比数列的前项和公式.在教学中，学生可能会提出疑问：是怎样想到在的两边乘以的？教师可以让学生独立思考，提出合理的解释.下面的思路提供了一种解释：

从等比数列的定义可知，.于是，在

①

的两边同乘，有

.②

显然，②式的第1~项分别与①式的第2~项相等.

2.对等比数列的前n项和公式的理解

由于等比数列的前n项和公式中，教师可以引导学生思考，当时，等比数列的前n项和公式是怎样的.

与等差数列类似，等比数列还有一个求和公式，即

教学中可以让学生自己推出这个公式，并分析两个公式各适用于什么情况.

3.关于例7~例9

本小节的例题也分成了两部分，例7~例9是较为基本的应用等比数列的前n项和公式解决数学问题的题目，建议在教学中与等比数列的前n项和公式在同一课时完成.

例7与4.2节的例6类似，给出了等比数列的5个相关量中的3个，让学生选择等比数列的前n项和公式（1）或公式（2）求其他2个未知量.由于本例涉及的3个小题中的公比都不等于1，所以不需要对是否等于1分类讨论.而第2小题虽然需要求公比，但限定了，所以只能得到一个结果.

例8与4.2节的例7类似，给出了等比数列的两个相互独立的条件.但这两个条件都不包含公比的信息，所以需要对是否等于1分类讨论.

例9在原来等比数列的基础上，利用等比数列的前项和，前项和与前项和构造了一个新的数列，让学生证明这个数列也是等比数列.事实上，这也是等比数列的一个性质.

由于条件中出现了等比数列的前项和，所以本题与例8的解决过程类似，只要分公比是否等于1两种情况，分别利用等比数列的前项和公式即可证明，教科书给出的正是这样的证明过程.考虑到新数列的特殊性，也可以不利用等比数列的前项和公式，而是由数列的前项和的定义，得，，这样就避免了对的分类讨论.教科书“边空”中的问题就是让学生思考不用等比数列求和公式的证明方法.此外，题干中强调“公比”的原因是，当时，可以发现使结论不成立的反例，如通项公式为的数列.

4.关于例10~例12

例10~例12涉及了等比数列的前项和公式在解决几何问题和实际问题中的应用，建议单独用一个课时讲授