江苏省常州市常州中学2024年热身卷数学试题试卷.doc

江苏省常州市常州中学2023年热身卷数学试题试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则（）

A． B． C． D．

2．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（）

A． B．

C． D．

3．在的展开式中，的系数为()

A．-120 B．120 C．-15 D．15

4．复数，若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则等于（）

A． B． C． D．

5．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（）

A． B． C． D．

6．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则()

A． B． C． D．

7．已知在中，角的对边分别为，若函数存在极值，则角的取值范围是（）

A． B． C． D．

8．设，则（）

A． B． C． D．

9．如图，平面四边形中，，，，，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A． B． C． D．

10．已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（）

A．16 B．14 C．12 D．8

11．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）

A． B． C． D．

12．已知为虚数单位，若复数满足，则（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在中，若，则的范围为________.

14．正四面体的各个点在平面同侧，各点到平面的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________．

15．设，则除以的余数是______.

16．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系中，，，且满足

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过，作直线交轨迹于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程．

18．（12分）已知函数，.

（Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数，并证明；

（Ⅱ）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：

19．（12分）设都是正数，且，．求证：．

20．（12分）已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.

21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．

22．（10分）已知圆外有一点，过点作直线．

(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；

(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

试题分析：，．故C正确．

考点：复合函数求值．

2．D

【解析】

构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.

【详解】

构造函数，，

则，，

所以，函数、在区间上均为减函数，

当时，则，；当时，，.

由得.

①若，则，即，不合乎题意；

②若，则，则，

此时，，

由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；

③若，则，则，

此时，

由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.

综上所述，.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.

3．C

【解析】

写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．

【详解】

的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C

【点睛】

本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．

4．A

【解析】

先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到，再利用复数的除法求解.

【详解】

因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数，

所以

所以

故选：A

【点睛】

本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.

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