人教A版高中数学选择性必修第一册素养单元课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 (2).docVIP

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第一章1.1.2空间向量的数量积运算

A级必备知识基础练

1.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=3,AD=4,E为棱BC的中点,则AE·

A.3 B.2 C.1 D.0

2.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,则向量BP在向量AD上的投影向量为()

A.DA B.BC

C.BD D.AP

3.已知四面体A-BCD的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,则EF·AC

A.-12 B.

C.-52 D.

4.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为()

A.23 B.

C.12 D.

5.(多选题)如图所示,已知四面体ABCD的棱长都为a,点E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是 ()

A.2AB·AC

C.2FG·AC

6.(多选题)[新疆乌苏高二阶段练习]如图,在棱长都为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,

A.AC

B.AC1⊥平面A1BD

C.AC1⊥平面B1D1C

D.|AC1

7.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=π3,点E,F满足AE=12A

8.已知MN是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的一条直径,则AM·AN=

9.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.

B级关键能力提升练

10.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点.记AB=a,AD=b,AA

A.AC

B.BM=12

C.AA

D.|AC1

11.[吉林第二中学高二阶段练习]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,则体对角线AC1的长为.?

12.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12

13.[北京通州高二]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=22,AD1=25,∠BAD=60°,∠BAA1=45°,AC与BD相交于点O.

(1)求AB·

(2)求∠DAA1;

(3)求OA1的长.

参考答案

1.1.2空间向量的数量积运算

1.D由题可得DA·

∵AE=12(AB+AC)=12(DB-DA+DC-DA

∵DB=DC,∴DC2=DB2

2.B四棱锥P-ABCD如图所示,

∵底面ABCD是矩形,∴BA⊥AD.

又PD⊥底面ABCD,AD?底面ABCD,∴PD⊥AD.

过向量BP的始点B作直线AD的垂线,垂足为点A,过向量BP的终点P作直线AD的垂线,垂足为点D,BP在向量AD上的投影向量为AD.

由底面ABCD是矩形,得AD=

3.D因为E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,所以EF=

因为AB·AC=|AB||AC|cos

BC·AC=|BC||AC|cos

CD·AC=|CD||AC|cos

所以EF·AC=12

4.A在正四面体ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠CAD=π3

因为M,N分别为棱BC,AD的中点,

所以AM=12

所以AM·CN=12(AB+AC)·12AD-AC=1

由题可得,AM=CN=32

所以|cosAM,CN|=

即直线AM和CN夹角的余弦值为23

5.AC在四面体ABCD中,AB,AC夹角为60°,所以2AB·AC=2×|AB|×|

AD,DB夹角为120°,所以2AD·DB=2×|AD|×|

因为点F,G分别是棱AD,DC的中点,所以FG∥AC,且|FG|=12|AC|,所以AC,FG夹角为0°,所以2FG·AC

因为点E,F分别是棱AB,AD的中点,所以EF∥BD,所以EF,CB夹角为120°,所以2EF·CB=2×|EF|×|CB|cos120°=-

6.BCD因为AC1·BD=(AB+AD+AA1)·(AD-AB)=(AB+AD)(AD-AB)+AA

因为BD∩A1B=B,A1B,BD?平面A1BD,

所以AC1⊥平面A1BD,故B正确.

因为B1D1∥BD,B1D1?平面A1BD,BD?平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD.

因为CD1∥A1B,CD1?平面A1BD,A1B?平面A1BD,所以CD1∥平面A1BD.

又CD1∩B1D1=D1,所以平面B1D1C∥平面A1BD,所以AC1⊥平面B1D1C,故C正确.

|AC1|