人教A版高中数学选择性必修第一册素养单元课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.4.2 第2课时 夹角问题 (2).docVIP

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第一章第2课时夹角问题

A级必备知识基础练

1.在直三棱柱ABC-ABC中,侧棱长为4,底面是边长为4的正三角形,则异面直线AB与BC所成角的余弦值为()

A.12 B.33 C.1

2.[山东招远高二阶段练习]若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是棱A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()

A.35 B.33 C.3

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为()

A.12 B.53 C.3

4.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,棱AB,SC的中点分别为E,F.若直线EC与BF所成角的余弦值为55

A.2 B.3

C.4 D.1

5.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为()

A.2 B.1

C.33 D.

6.(多选题)在△ABC中,BC=5,AB=1,tan∠ABC=-2,将△ABC绕直线AB旋转至△ABP处,使平面ABP⊥平面ABC,则()

A.在旋转的过程中,点C的运动轨迹长度为π

B.点B到平面PAC的距离为3

C.直线AP与直线PC所成角为π

D.直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5

7.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,AF=λAD,0≤λ≤1.若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为3210,则λ的值为

8.[全国高二课时练习]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,则平面AA1B1B与平面AD1E所成角的正弦值为.?

B级关键能力提升练

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为()

A.30° B.45°

C.90° D.60°

10.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶2,则直线AF与CE所成角的余弦值为()

A.225

C.45 D.

11.[黑龙江哈尔滨高二阶段练习]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°,若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.?

12.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.

(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;

(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.

13.[福建高三阶段练习]如图,在五面体ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,CC1⊥平面ABC,AA1∥BB1.已知AB=AC=2,AA1=3,A1B1=A1C1,且BB1CC1.

(1)证明:AA1⊥平面ABC;

(2)求平面A1B1C1与平面AA1C1C的夹角的余弦值的取值范围.

参考答案

第2课时夹角问题

1.C由题意,取线段AC的中点O,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,23,0),B(0,23,4),C(-2,0,4),

所以AB=(-2,23,4),BC=(-2,-23,4),所以cosAB

所以AB与BC所成角的余弦值为14

故选C.

2.D取棱AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

令三棱柱的棱长为2,则OB=22-1=3,A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2),所以AD=(0,1,2),CD

设n=(x,y,z)为平面B1DC的法向量,由n·

设直线AD与平面B1DC所成的角为α,则sinα=|cosAD,n|=|AD

所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45

3.B以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,12,D(0,1,0),

∴A1D=(0,1,-1),A1E=1,0,-12.设平面A1

则A1

∴n1=(1,2,2).

由图可知,平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),

∴cosn1,n2=n1·n2|n1||n2|

4.C以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

设SD=t(t0),则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),E(2,1,0),所以F0,1,t2,所以EC=(-2,1,0),BF=-2,-1,t2.

因为直线EC与BF所成角的余弦值为55,所以|cosEC,BF

5.D设菱形